FM-자동화된 마켓 마이커(AMM)에 대한 메모

07-26

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0.TL;DR

[CF23]에 제시된 FM-AMM의 추가 기능을 소개하고 자세히 설명했습니다. 우리는 FM-AMM에서 차익거래 이익을 위한 CEX-DEX 차익거래자 간의 게임을 모델링한 후 순수 전략 내쉬 균형을 찾아 이를 해결했습니다. 마지막으로 이론적 설정에서 FM-AMM의 점근적 LVR을 계산하고 수치 시뮬레이션을 통해 Uniswap V2 스타일 고정 금리 CPMM과 성능을 비교했습니다. 우리의 관찰에 따르면 성능은 가격 변동성, 거래 비용 및 유동성 풀의 크기에 크게 영향을 받으며 FM-AMM은 특정 조건에서 차익거래자에 대한 손실이 감소한 것으로 나타났습니다.

1. 소개

LVR은 [MMRZ22]와 [MMR23]에 도입된 이후 빠르게 AMM 성능 측정의 표준이 되었습니다. 역동적인 수수료 정책을 통해 LVR을 낮추려는 수많은 시도가 있었고, 이러한 연구는 활발하게 계속되고 있습니다. 그러나 일괄 거래 실행은 [CF23]과 [GGMR22]를 제외하고는 큰 주목을 받지 못했다. [CF23]에서 저자는 기능 극대화 자동화 마켓 메이커(FM-AMM)를 제안하여 LVR을 효과적으로 제거한다고 주장하고 다양한 Uniswap V3 풀과 성능을 비교하는 수치 시뮬레이션을 제공했습니다. 나중에 그들은 CoW-AMM(FM-AMM 구현)이 라이브 환경에서도 좋은 성능을 발휘했다고 주장했으며 , 이로 인해 측정 방법의 적법성에 관해 트위터에서 논쟁이 벌어졌습니다. 논쟁은 마진이 성과를 측정하는 데 유용한 지표인지 여부에 더 중점을 두었지만 소매 주문 흐름의 존재와 변동하는 거래 비용 또한 성과를 정확하게 비교하는 데 장애물이 됩니다. 이 기사에서는 FM-AMM의 성능을 분석하고 [N22] 및 [E24]와 같은 소매 주문 흐름 조건이 없는 고정 거래 비용 하에서 이를 CPMM과 비교합니다.

세부적으로, 우리는 차익거래자가 수익을 극대화하기 위해 (약간 수정된) FM-AMM에 전략적으로 주문을 제출하는 게임에서 설계를 약간 수정하고 내쉬 균형을 찾았습니다. 이 게임은 일반화된 Tullock 콘테스트의 특별한 형태인 [MC24]에서 소개된 유동성 공급 게임과 유사하다. 결과적인 평형은 많은 유리한 특성을 갖습니다. 즉, 해는 항상 고유하게 존재하며 대칭입니다. 또한 LVR은 참가자 수에 반비례하여 감소합니다. 이 모델은 차익거래자의 수 N N 이 미리 결정되어 있고 거래 비용 c c 가 0이라고 가정합니다. 우리는 참가자 수가 c c 에 따라 내생적으로 결정되는 모델을 진행합니다. 이 설정에서는 FM-AMM이 항상 우수한 것은 아닙니다. 결과는 이제 점프 크기, 빈도 및 비용에 따라 달라집니다. 우리는 수치 시뮬레이션 결과를 제공하고 FM-AMM이 롤업 기반 솔루션에 잘 맞는 것을 제안합니다.

2. FM-AMM

이 섹션에서는 보다 일반적인 경우를 처리하기 위해 [CF23]에 소개된 FM-AMM의 생략된 세부 사항을 채웁니다. [CF23]에 소개된 기본 AMM 곡선은 다음과 같습니다.

y_\text{out} = \frac{x_\text{in}}{X + 2x_\text{in}}Y,

y 출력 = x 내부 X + 2 x 내부 예 ,

여기서 x_\text{in} x in은 거래자가 판매하려는 토큰 X X 의 양이고, y_\text{in} y in은 트레이더가 받을 토큰 Y Y 의 양입니다. 그러나 이는 주문의 한 쪽만 일괄 제출하는 가장 간단한 경우입니다. 원본 논문의 저자는 사용자가 구매 또는 판매할 토큰 X의 양만 지정한다고 가정하여 양쪽 주문이 동일한 배치에 존재하도록 사례를 처리했습니다. 불행하게도, 일괄 처리가 완료되기 전에 거래자가 지정된 양의 토큰 X를 구매할 수 있는 충분한 자본이 있는지 여부가 보장되지 않기 때문에 완전한 온체인 방식으로 구현하기가 어렵습니다. (판매는 문제가 되지 않습니다. 우리는 거래자로부터 토큰을 가져와 보관할 수 있습니다. 결제로 처리됩니다.) 우리는 더 넓은 범위의 사례를 처리하기 위해 공식을 일반화합니다. X, Y X , Y를 풀의 보유량, T T 를 일괄 결제 전 LP 토큰의 총 공급량, x_\text{in}, y_\text{in} x in , y in 을 거래자가 거래하는 각 토큰의 총량으로 설정합니다. 판매할 의사가 있으며 x_\text{mint}, y_\text{mint} x mint , y mint는 LP에서 제공되는 각 토큰의 합계 금액입니다. 우리가 시작할 기본 방정식은 다음과 같습니다.

\begin{align}\begin{bmatrix}x_{\text{mint}} \\y_{\text{mint}}\end{bmatrix}&=x_{\text{mint}} \begin{bmatrix}1 \ \p\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\2\alpha\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x_{\text{in}} \\y_{\text{in}}\ end{bmatrix}&=x_{\text{in}} \begin{bmatrix}1 \\p\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\\beta\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix }x_1 \\y_1\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}x_0 \cdot \frac{y_0 + \alpha + \beta}{y_0 + 2(\alpha + \beta)} \\y_0 + \alpha + \beta\end{bmatrix}\end{align}

[ × 민트 응 민트 ] = x 민트 [ 1 피 ] + [ 0 2α ] [ x in y in ] = x in [ 1 피 ] + [ 0 β ] [ x 1 y 1 ] = [ x 0 ⋅ y 0 + α + β y 0 + 2 ( α + β ) y 0 + α + β ]

여기서 p p 는 청산 가격이고, \alpha, \beta α , β 는 각각 스왑 및 발행을 위한 순 스왑 금액입니다. 즉, 제출된 주문 중 \alpha α 및 \beta β 일부만 교환한 다음 현물 가격을 변경하지 않고 나머지는 p2p를 통해 교환합니다. 사실 그

\begin{bmatrix}x_{\text{mint}} \\y_{\text{mint}} - 2\alpha\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}x_{\text{in}} \\y_{ \text{in}} - \beta\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}x_1 \\y_1\end{bmatrix}

[ × 민트 y 민트 − 2 α ] , [ x in y in − β ] , [ x 1 y 1 ]

모두 평행하면 다음과 같은 행렬 방정식이 제공됩니다.

\begin{방정식}\begin{bmatrix}2x_0 + 2x_{\text{mint}} & 2x_{\text{mint}} \\2x_{\text{in}} & 2x_{\text{in}} + x_0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha \\\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_0 y_{\text{mint}} - x_{\text{mint}} y_0 \\x_0 y_ {\text{in}} - x_{\text{in}} y_0\end{bmatrix}\end{방정식}

[ 2x0 + 2x 민트2 x 민트 2x 인치 2 x in + x 0 ] [ α β ] = [ x 0 y 민트 − x 민트 y 0 x 0 y in − x in y 0 ]

LHS의 행렬식은 항상 양수이므로 위의 방정식은 특이점이 아닙니다. \alpha, \beta α , β 는 다음과 같습니다:

\begin{align} (\alpha, \beta) = \left( \frac{\frac{x_{0} y_{mint}}{2} + x_{in} y_{mint} - \frac{x_{mint } y_{0}}{2} - x_{최소} y_{in}}{x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint}}, \ \frac{x_{0} y_{in} - x_{in} y_{0} - x_{in} y_{mint} + x_{mint} y_{in}}{x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint}}\right) \end{ 맞추다}

( α , β ) = ( x 0 y m i n t 2 + x 나는 n y m i n t − x m i n t y 0 2 − x m i n t y i n x 0 + 2 x i n + x m i n t , x 0 y i n − x i n y 0 − x i n y m i n t + x m i n t y i n x 0 + 2 x i n + x m i n t )

청산 가격 p_c p c 는 다음과 같습니다.

\begin{align}p_c = \frac{y_{0} + 2 y_{in} + y_{mint}}{x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint}}\end{align}

p c = y 0 + 2 y i n + y m i n t x 0 + 2 x i n + x m i n t

x_\text{out}, y_\text{out} x out , y out은 다음과 같습니다.

\begin{정렬}(x_\text{out}, y_\text{out}) &=\left( \frac{y_{in} \left(x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint} \right)}{y_{0} + 2 y_{in} + y_{mint}}, \ \frac{x_{in} \left(y_{0} + 2 y_{in} + y_{mint}\right )}{x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint}}\right) \\&= \left(\frac{y_\text{in}}{p_c}, p_c x_\text{in} \right) \\end{align}

( x 출력 , y 출력 ) = ( y i n ( x 0 + 2 x i n + x m i n t ) y 0 + 2 y i n + y m i n t , x i n ( y 0 + 2 y i n + y m i n t ) x 0 + 2 x i n + x m i n t ) = ( PC 의 y , pc x in )

LP 토큰을 발행한 후 보유량 인 x_2, y_2 x 2 , y 2 와 새로 발행된 LP 토큰 금액 인 t t 를 찾는 것은 간단하므로 여기서는 생략하겠습니다.

위 공사는 수수료가 없습니다. 수수료를 부과한 후에도 가격을 동일하게 유지하기 위해 입력의 1/(1 + \gamma) 1 / ( 1 + γ ) 부분과 출력의 \gamma γ 부분을 수수료로 가져갑니다. 따라서 유효 수수료율 은 \frac{2 \gamma}{1+ \gamma} 2 γ 1 + γ 가 됩니다. , 이는 대략 2 \gamma 2 γ 입니다. 하지만 차익거래자를 고려하면 입력 시 수수료를 전액 받는 것이 더 나을 수도 있습니다.

3. 모델

이 섹션에서는 분석의 기반이 되는 모델을 설명합니다. 우리는 전략적 차익거래자가 포함된 일반적인 형태의 게임을 모델링합니다. 즉, 각 플레이어는 다른 플레이어의 입찰을 인식하지 못하고 모든 입찰이 동시에 제출됩니다. 또한 각 플레이어의 입찰은 절대 검열되지 않습니다. 이 가정이 블록체인의 현재 상태를 완벽하게 반영하지는 않지만, 지속적인 암호화 개발과 포함 목록과 같은 개선된 시장 설계는 이론과 현실 사이의 격차를 줄이는 데 도움이 될 것입니다. 이 공식은 [CM24]의 공식과 거의 동일합니다. 유일한 차이점은 플레이어가 이제 AMM에 제공하는 대신 잘못된 가격의 유동성을 "수용"한다는 것입니다.

3.1. 자동화된 마켓 메이커

AMM의 경우 섹션 2에서 소개한 FM-AMM을 사용합니다. AMM 자체는 플레이어가 아닙니다. 우리는 AMM의 LP가 단기적으로 어떠한 조치도 취하지 않는 수동적 투자자라고 가정합니다.

3.2. 차익거래자

우리는 모든 플레이어가 동질적이라고 가정합니다. 그들은 위험 중립적이며 미끄러짐 없이 CEX에서 모든 규모와 방향의 거래를 실행할 수 있습니다. 그들의 유일한 목표는 이익을 극대화하는 것입니다.

3.3. 유동성 확보를 위한 전략적 게임

첫째, 거래 비용을 고려하지 않고 N N 이 외생적으로 주어지는 N N 플레이어와 함께 게임을 해결합니다. 그런 다음 우리는 엄격하게 양의 거래 비용 c c 를 도입하고 균형 조건에서 N N을 도출합니다. 우리는 균형의 고유성을 보장하는 긍정적인 거래 수수료가 있는 조건으로 관심을 제한할 것입니다. 플레이어는 풀 보유량 X X , Y Y 및 외부 실제 가격 P P 를 관찰합니다. 그런 다음 풀에 판매할 토큰의 양인 입찰가 (x_i, y_i) ( x i , y i ) 를 제출합니다. 청산 가격은 다음과 같습니다.

\begin{align}P_c = \frac{Y + 2\sum^N_{i=1} y_i }{X + 2\sum^N_{i=1} x_i} \tag{1} \\\end{align }

P c = Y + 2 ∑ N i = 1 y i X + 2 ∑ N i = 1 x i (1)

효용함수는 스왑 수수료(및 해당되는 경우 거래 비용)를 부과한 후의 차익거래 이익입니다. 플레이어 i i , U_i U i 의 유틸리티는 다음과 같습니다.

\begin{align}R_i = -(1 + \gamma)(P x_i + y_i) + (1 - \gamma)\left(\frac{P}{P_c}y_i + P_c x_i\right) \tag{2} \end{정렬}

R i = − ( 1 + γ ) ( P x i + y i ) + ( 1 − γ ) ( P P c y i + P c x i ) (2)

이제 우리는 균형을 찾을 준비가 되었습니다.

4. 평형분석

4.1. N N은 외생적으로 결정되고 거래 비용 c c 는 0입니다.

먼저 다음 기본정리를 소개합니다.

\text{정리. 플레이어 } i\text{의 가장 좋은 응답은 하나 이상의 0 구성 요소, 즉 } (x_i, 0) \text{ 또는 } (0, y_i)가 포함된 입찰을 제출하는 것입니다.

보조정리. 플레이어 i 의 최선의 응답은 최소한 하나의 0 구성 요소, 즉 ( x i , 0 ) 또는 ( 0 , y i ) 중 하나를 사용하여 입찰을 제출하는 것입니다 .

증거는 간단합니다. (x_i, y_i) ( x i , y i ) 및 (x'_i, y'_i) ( x ′ i , y ′ i ) 의 정산 가격이 동일하다고 가정합니다. 그런 다음 x_i \leq x'_i x i ≤ x ′ i 인 경우와 y_i \leq y'_i y i ≤ y ′ i 인 경우에만 해당됩니다. 이들을 결합하고 다른 것에서 하나의 유용성을 빼면 원하는 결과를 얻을 수 있습니다.

한편, 첫 번째 주문 조건과 수익성 조건은 P_{-i} P − i 가 P_{-i} = \frac{Y + 2\sum^N_{j \neq 로 정의될 때 가장 좋은 응답을 제공합니다. i} y_j }{X + 2\sum^N_{j \neq i} x_j} P − i = Y + 2 ∑ N j ≠ i y j X + 2 ∑ N j ≠ i x j , 다음 사항을 충족하도록 x_i x i 또는 y_i y i를 제출합니다.

\begin{align}P_c =\begin{cases}\sqrt{\frac{1 - \gamma}{1 + \gamma} P P_{-i}} & \text{if } \frac{1 - \gamma} {1 + \gamma} P \geq P_{-i} \\\sqrt{\frac{1 + \gamma}{1 - \gamma} P P_{-i}} & \text{if } \frac{1 + \gamma}{1 - \gamma} P \leq P_{-i}\end{cases}. \tag{3}\end{정렬}

P c = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ √ 1 − γ 1 + γ P P - 나는 1 − γ 1 + γ 인 경우 P ≥ P − i √ 1 + γ 1 − γ P P - 나는 1 + γ 1 − γ 인 경우 P ≤ P − 나는 . (삼)

그렇지 않으면 어떤 주문(예: 입찰)도 제출하지 않는 것이 좋습니다. \frac{1+\gamma}{1-\gamma}P_{-i} 1 + γ 1 − γ 라고 생각할 수 있습니다.P − i 및 \frac{1-\gamma}{1+ \gamma}P_{-i} 1 − γ 1 + γ P - i는 차익거래가 수익성이 되는 임계 가격입니다. 이는 모든 i i 에 대해 성립하므로 모든 i i 및 j j 에 대해 P_{-i} = P_{-j} P − i = P − j가 되며 이는 평형이 대칭이고 항상 존재한다는 것을 의미합니다.

이제부터 우리는 외부 가격이 풀의 현물 가격인 Y/X Y / X 보다 충분히 높다고 간주합니다. 반대의 경우도 비슷한 방법으로 해결할 수 있습니다. 우리가 다루고 있는 경우에는 x_\text{eq} = 0 x eq = 0 임이 분명합니다. 그런 다음 (3) ( 3 ) 은 다음과 같습니다.

\begin{align}\frac{Y + 2Ny_\text{eq}}{X} = \sqrt{\frac{1-\gamma}{1+\gamma}P\cdot \frac{Y + 2 (N- 1) y_\text{eq}}{X}} \tag{4}\end{align}

Y + 2 N y eq X = √1 − γ 1 + γ P ⋅ Y + 2 ( N − 1 ) y eq X (4)

(4) ( 4 ) 를 풀면 다음이 나옵니다.

\begin{align}y_\text{eq} = \frac{1}{4N^2}\left[ (N - 1) \cdot \frac{1-\gamma}{1+\gamma} \cdot PX - 2NY + \sqrt{(N-1)^2 + 4N \cdot \frac{Y}{X} \cdot \frac{1+\gamma}{1-\gamma} \cdot \frac{1}{P} } \cdot \frac{1-\gamma}{1+\gamma}\cdot PX \right] \tag{5}\end{align}

y eq = 1 4 N 2 [ ( N − 1 ) ⋅ 1 − γ 1 + γ ⋅ P X − 2 N Y + √ ( N − 1 ) 2 + 4 N ⋅ Y X ⋅ 1 + γ 1 − γ ⋅ 1P ⋅ 1 − γ 1 + γ ⋅ P X ] (5)

이제부터는 복잡성으로 인해 급진적인 근사를 진행하겠습니다. 그러한 근사의 타당성에 대한 엄격한 증거를 제공하지는 않지만 나중에 시뮬레이션에서 이것이 잘 작동하는 것을 볼 수 있습니다. P_0 = \frac{Y}{X} P 0 = Y X 그리고 \varepsilon = \frac{1-\gamma}{1+\gamma} \cdot \frac{P}{P_0} - 1 ε = 1 − γ 1 + γ ⋅ P P 0 − 1 , 즉 임계 가격과 외부 가격 간의 가격 차이입니다. Taylor 급수를 통해 \varepsilon ε을 사용하여 y_\text{eq} y eq를 근사하면 더 간단한 형식이 제공됩니다.

\begin{align}y_\text{eq} &= \frac{Y}{4N^2}\left[ (N-1) \cdot (1+ \varepsilon) - 2N +(1+\varepsilon)\sqrt {(N-1)^2 +\frac{4N}{1+\varepsilon}}\right] \tag{6} \\&\about \frac{Y}{2(N+1)} \varepsilon + o(\varepsilon^2) \tag{7}\end{align}

y eq = 와이 4 아니오 2 [ ( N − 1 ) ⋅ ( 1 + ε ) − 2 N + ( 1 + ε ) √ ( N − 1 ) 2 + 4 N 1 + ε ] ≒ Y 2 ( N + 1 ) ε + o ( ε 2 ) (6) (7)

(7) ( 7 ) 을 사용하면 개별 차익거래자의 이익과 차익거래자에 대한 AMM의 총 손실을 계산할 수 있습니다.

\begin{정렬}ARB &\대략 L\sqrt{P_0}\cdot\left(\frac{1+\gamma}{2(N+1)^2}\right)\cdot\varepsilon^2 \tag{ 8} \\LVR &\대략 (1+\gamma)\cdot L\sqrt{P_0}\cdot\left(\frac{N}{2(N+1)^2}\right)\cdot\varepsilon^ 2 \tag{9}\end{정렬}

A R B ≒ L √ P 0 ⋅ ( 1 + γ 2 ( N + 1 ) 2 ) ⋅ ε 2 LVR ≒ ( 1 + γ ) ⋅ L √ P 0 ⋅ ( N 2 ( N + 1 ) 2 ) ⋅ ε 2 (8) (9)

따라서 거래 비용이 0 0 이라고 가정하면 모든 N N 에 대해 모든 N N 차익거래자는 동일한 입찰을 제출하고 이익을 균등하게 공유하는 반면 각 개별 차익거래자의 이익은 O(N^{-2}) O ( N - 2 ) . 더욱이 N N이 무한대로 갈수록 정산 가격 P_c P c는 임계 가격에 수렴하므로 가격 불일치의 고정 분포는 [MMR23]의 고정 수수료 CPMM 분포와 동일합니다.

4.2. 거래 비용은 무료가 아니며 차익거래자의 수는 내생적으로 결정됩니다.

이제 우리는 0이 아닌 거래 비용 c c 를 채택하여 4.1의 모델을 보다 현실적인 모델로 확장합니다. 효용 함수는 추가 항 -c − c 가 있다는 점을 제외하면 (2) ( 2 ) 와 동일하게 유지됩니다. 도함수를 취하면 이 항이 사라지므로 수익성이 있는 한 최선의 반응은 동일하게 유지됩니다. 따라서 해는 N N이 N^{*} N * 로 대체된다는 점을 제외하면 (7) ( 7 ) 과 크게 다르지 않습니다. 여기서 N^{*} N <

출처

면책조항: 상기 내용은 작자의 개인적인 의견입니다. 따라서 이는 Followin의 입장과 무관하며 Followin과 관련된 어떠한 투자 제안도 구성하지 않습니다.

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