이 기사의 두 번째 부분은 스테이블스왑(StableSwap) 불변량에 대해 다룹니다.

크립토스왑(CryptoSwap)

크립토스왑 불변량은 커브(Curve)의 거래 풀에 대한 "유동성 곡선"을 정의하는 핵심 수학 공식으로, 변동성이 높은 자산 쌍(스테이블코인처럼 단단히 고정되지 않은)에 특별히 설계되었습니다. 이는 풀의 "내부" 가격(내부 오라클을 통해 결정)을 중심으로 유동성을 집중시키고 풀이 불균형해질 때 자동으로 조정합니다. 주요 포인트는 다음과 같습니다:

두 불변량의 장점을 결합:

• 풀이 균형(가치 동등한 잔액)을 이루고 있을 때, 크립토스왑 불변량은 스테이블스왑 불변량과 유사한 행동을 보여 "평평한" 영역(슬리피지 없음)을 만들어 거의 1:1 교환을 가능하게 합니다.

• 풀이 불균형해지면 불변량이 점진적으로 일정 곱 불변량(유니스왑과 같은) 행동으로 전환되어 슬리피지가 증가하고 과도한 가격 편차로부터 풀을 보호합니다.

1부에서는 스테이블스왑 불변량이 일반 공식으로 설명되었습니다:

그리고 크립토스왑 불변량은 스테이블스왑 불변량에 의해 장려됩니다:

그러나 K는 약간 다르게 정의됩니다:

• A(증폭 계수): A 매개변수는 스테이블스왑 불변량(커브 v1)과 유사하게 본딩 곡선이 중심에서 얼마나 평평한지를 제어합니다. 이는 예상 환율(즉, "가격 척도") 주변의 유동성 집중 정도를 결정합니다.

• 감마(Gamma): 감마 매개변수는 위 그림의 두 일정 곱 곡선 사이의 간격을 제어합니다. 감마가 증가하면 "조정된 일정 곱" 곡선이 왼쪽 아래 모서리 쪽으로 늘어나 곡선의 점근선이 축에 더 가까워지고 전체 곡선 모양이 넓어집니다.

초기화:

초기 공식으로 f(D_0)를 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다(코인이 2개만 있는 상황):

뉴턴 방법을 사용하면 초기값을 다음과 같이 변환할 수 있습니다:

이 공식을 사용하면 D_0를 A 번 반복하여 계산할 수 있습니다. Viper 코드에서 A는 255로 설정됩니다.

코드는 현재 D_0 값과 이전 값 사이의 절대 차이를 계산합니다. 차이가 매우 작거나(diff ≤ 1) 차이에 10^18을 곱한 값이 D_0보다 작으면 반복을 중지합니다. 이 중 하나의 조건이 충족되면 함수는 수렴된 D_0 값을 반환합니다.

불변량으로 돌아가서, S를 x_i의 합, P를 x_i의 곱이라고 하면 코인이 2개일 때 f(D)는 다음과 같습니다:

f(D)의 도함수는 다음과 같습니다:

이를 다음과 같이 변형할 수 있습니다:

위 공식을 간소화할 수 있습니다. 먼저 모든 항을 K로 나누고 괄호 안의 모든 것을 펼칩니다.

이제 S를 - S + 2S로 쓸 수 있습니다:

그런 다음 S와 D를 포함하는 그룹 사이의 공통 항을 인수분해합니다.

괄호 안의 모든 분모를 공통으로 만듭니다:

변수를 단순화하기 위해 mul1과 mul2라는 두 개의 보조 변수를 도입합니다:

이제 도함수 f'(D)는 다음과 같이 간소화할 수 있습니다:

Viper 코드에서 _g1k0 변수는 다음과 같이 정의됩니다:

코드로 돌아가면,

이 코드는 f'(D) 대신 -f'(D)를 계산합니다. 이렇게 하면 뉴턴 단계가 더 명확해집니다. 또한 f(D)를 K로 나눕니다:

D에 대한 완전한 뉴턴 방법은 다음과 같습니다:

공식은 뉴턴 방법을 위해 두 부분으로 나뉩니다:

최종 D는 위 두 방정식의 차이로 계산됩니다.