Ghi chú về LVR của FM-Nhà tạo lậo trị trường tự động (AMM)

07-26

Bài viết này được dịch máy

Xem bản gốc

0.TL;DR

Chúng tôi đã giới thiệu và trình bày chi tiết các tính năng bổ sung của FM-AMM, như được trình bày trong [CF23]. Chúng tôi đã lập mô hình trò chơi giữa các nhà kinh doanh chênh lệch giá CEX-DEX để kiếm lợi nhuận chênh lệch giá trên FM-AMM và sau đó giải quyết nó bằng cách tìm ra điểm cân bằng chiến lược thuần túy Nash. Cuối cùng, chúng tôi đã tính toán LVR tiệm cận của FM-AMM trong cài đặt lý thuyết và so sánh hiệu suất của nó với CPMM có lãi suất cố định kiểu Uniswap V2 thông qua mô phỏng số. Quan sát của chúng tôi chỉ ra rằng hiệu suất bị ảnh hưởng nặng nề bởi biến động giá, chi phí giao dịch và quy mô của nhóm thanh khoản, trong đó FM-AMM cho thấy mức lỗ giảm đối với các nhà kinh doanh chênh lệch giá trong các điều kiện cụ thể.

1. Giới thiệu

Kể từ khi LVR được giới thiệu trong [MMRZ22] và [MMR23], nó đã nhanh chóng trở thành tiêu chuẩn để đo lường hiệu suất của AMM. Nhiều nỗ lực đã được thực hiện nhằm giảm LVR thông qua các chính sách phí năng động và nghiên cứu này vẫn tiếp tục tích cực. Tuy nhiên, việc thực hiện giao dịch hàng loạt chưa nhận được nhiều sự chú ý, ngoại trừ [CF23] và [GGMR22]. Trong [CF23], các tác giả đã đề xuất một nhà tạo lập thị trường tự động tối đa hóa chức năng (FM-AMM), khẳng định rằng nó loại bỏ LVR một cách hiệu quả và cung cấp các mô phỏng số so sánh hiệu suất của nó với các nhóm Uniswap V3 khác nhau. Sau đó, họ tuyên bố rằng CoW-AMM (việc triển khai FM-AMM của họ) cũng hoạt động tốt trong cài đặt trực tiếp, dẫn đến cuộc tranh luận trên Twitter về tính hợp pháp của các phương pháp đo lường của họ. Mặc dù cuộc tranh luận tập trung nhiều hơn vào việc liệu giảm giá có phải là thước đo hữu ích để đo lường hiệu suất hay không, sự tồn tại của dòng đơn đặt hàng bán lẻ và chi phí giao dịch biến động cũng là những trở ngại để so sánh chính xác hiệu suất của chúng. Trong bài viết này, chúng tôi phân tích hiệu suất của FM-AMM và so sánh nó với CPMM theo chi phí giao dịch cố định và trong trường hợp không có các điều kiện luồng đơn hàng bán lẻ như trong [N22] và [E24].

Cụ thể hơn, chúng tôi đã sửa đổi một chút thiết kế của họ và tìm ra điểm cân bằng Nash trong một trò chơi trong đó các nhà kinh doanh chênh lệch giá gửi lệnh đến FM-AMM (được sửa đổi một chút) một cách chiến lược để tối đa hóa lợi nhuận của họ. Trò chơi này tương tự như trò chơi cung cấp thanh khoản được giới thiệu trong [MC24], là một hình thức đặc biệt của cuộc thi Tullock tổng quát. Trạng thái cân bằng thu được có nhiều tính chất thuận lợi: nghiệm luôn tồn tại duy nhất và có tính đối xứng. Hơn nữa, LVR giảm tỷ lệ nghịch với số lượng người tham gia. Mô hình này giả định rằng số lượng nhà kinh doanh chênh lệch giá, N N , được xác định trước và chi phí giao dịch, c c , bằng không. Chúng tôi tiến tới một mô hình trong đó số lượng người tham gia được xác định nội sinh theo c c . Trong cài đặt này, FM-AMM không phải lúc nào cũng vượt trội; kết quả bây giờ phụ thuộc vào kích thước bước nhảy, tần suất và chi phí. Chúng tôi cung cấp kết quả mô phỏng bằng số và đề xuất rằng FM-AMM rất phù hợp với các giải pháp dựa trên tổng hợp.

2. FM-AMM

Trong phần này, chúng tôi điền các chi tiết bị bỏ qua của FM-AMM được giới thiệu trong [CF23] để xử lý trường hợp tổng quát hơn. Đường cong AMM cơ bản được giới thiệu trong [CF23] là:

y_\text{out} = \frac{x_\text{in}}{X + 2x_\text{in}}Y,

y out = x trong X + 2 x trong Y ,

trong đó x_\text{in} x in là số lượng token X X mà nhà giao dịch sẵn sàng bán và y_\text{in} y in là số lượng token Y Y mà cô ấy sẽ nhận được. Tuy nhiên, đây là trường hợp đơn giản nhất khi chỉ có một mặt đơn hàng được gửi theo đợt. Các tác giả của bài báo gốc đã xử lý trường hợp cả hai mặt của đơn đặt hàng tồn tại trong cùng một đợt bằng cách giả sử người dùng chỉ xác định số lượng token X để mua hoặc bán. Thật không may, điều này khó thực hiện theo cách hoàn toàn trên chuỗi vì liệu nhà giao dịch có đủ vốn để mua số lượng token X cụ thể hay không không được đảm bảo trước khi lô được giải quyết (Việc bán hàng không có vấn đề gì; chúng tôi có thể lấy token từ nhà giao dịch và giữ lại nó bằng cách giải quyết). Chúng tôi khái quát hóa công thức để xử lý nhiều trường hợp hơn. Đặt X, Y X , Y là quỹ dự trữ, T T là tổng nguồn cung cấp mã thông báo LP trước khi thanh toán theo đợt, x_\text{in}, y_\text{in} x in , y là tổng số lượng của mỗi mã thông báo mà nhà giao dịch sẵn sàng bán và x_\text{mint}, y_\text{mint} x mint , y mint là số tiền tổng hợp của mỗi mã thông báo được cung cấp từ LP. Phương trình cơ bản chúng ta sẽ bắt đầu là:

\begin{align}\begin{bmatrix}x_{\text{mint}} \\y_{\text{mint}}\end{bmatrix}&=x_{\text{mint}} \begin{bmatrix}1 \ \p\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\2\alpha\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x_{\text{in}} \\y_{\text{in}}\ end{bmatrix}&=x_{\text{in}} \begin{bmatrix}1 \\p\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\\beta\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix }x_1 \\y_1\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}x_0 \cdot \frac{y_0 + \alpha + \beta}{y_0 + 2(\alpha + \beta)} \\y_0 + \alpha + \beta\end{bmatrix}\end{align}

[ x bạc hà y bạc hà ] = x bạc hà [ 1 P ] + [ 0 2 α ] [ x vào bạn ở trong ] = x trong [ 1 P ] + [ 0 β ] [ x 1 năm 1 ] = [ x 0 ⋅ y 0 + α + β y 0 + 2 ( α + β ) y 0 + α + β ]

Ở đây, p p là giá thanh toán bù trừ và \alpha, \beta α , β lần lượt là số tiền hoán đổi ròng cho việc hoán đổi và đúc tiền. Tóm lại, trong số các lệnh đã gửi, chúng tôi chỉ hoán đổi một phần \alpha α và \beta β , sau đó trao đổi phần còn lại qua p2p mà không thay đổi giá giao ngay. Sự thật là

\begin{bmatrix}x_{\text{mint}} \\y_{\text{mint}} - 2\alpha\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}x_{\text{in}} \\y_{ \text{in}} - \beta\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}x_1 \\y_1\end{bmatrix}

[ x bạc hà y bạc hà − 2 α ] , [ x ở y trong − β ] , [ x 1 năm 1 ]

đều song song cho chúng ta phương trình ma trận sau:

\begin{equation}\begin{bmatrix}2x_0 + 2x_{\text{mint}} & 2x_{\text{mint}} \\2x_{\text{in}} & 2x_{\text{in}} + x_0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha \\\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_0 y_{\text{mint}} - x_{\text{mint}} y_0 \\x_0 y_ {\text{in}} - x_{\text{in}} y_0\end{bmatrix}\end{equation}

[ 2 x 0 + 2 x bạc hà 2 x bạc hà 2 x trong 2 x trong + x 0 ] [ α β ] = [ x 0 y mint − x mint y 0 x 0 y in − x in y 0 ]

Lưu ý rằng định thức của ma trận trong LHS luôn dương hoàn toàn nên phương trình trên không phải là số ít. \alpha, \beta α , β là:

\begin{align} (\alpha, \beta) = \left( \frac{\frac{x_{0} y_{mint}}{2} + x_{in} y_{mint} - \frac{x_{mint } y_{0}}{2} - x_{mint} y_{in}}{x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint}}, \ \frac{x_{0} y_{in} - x_{in} y_{0} - x_{in} y_{mint} + x_{mint} y_{in}}{x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint}}\right) \end{ căn chỉnh}

( α , β ) = ( x 0 y m i n t 2 + x i n y m i n t − x m i n t y 0 2 − x m i n t y i n x 0 + 2 x i n + x m i n t , x 0 y i n − x i n y 0 − x i n y m i n t + x m i n t y i n x 0 + 2 x i n + x m i n t )

Giá thanh toán bù trừ, p_c p c , là:

\begin{align}p_c = \frac{y_{0} + 2 y_{in} + y_{mint}}{x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint}}\end{align}

p c = y 0 + 2 y i n + y m i n t x 0 + 2 x i n + x m i n t

x_\text{out}, y_\text{out} x out , y out là:

\begin{align}(x_\text{out}, y_\text{out}) &=\left( \frac{y_{in} \left(x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint} \right)}{y_{0} + 2 y_{in} + y_{mint}}, \ \frac{x_{in} \left(y_{0} + 2 y_{in} + y_{mint}\right )}{x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint}}\right) \\&= \left(\frac{y_\text{in}}{p_c}, p_c x_\text{in} \right) \\\end{căn chỉnh}

( x ra , y ra ) = ( y i n ( x 0 + 2 x i n + x m i n t ) y 0 + 2 y i n + y m i n t , x i n ( y 0 + 2 y i n + y m i n t ) x 0 + 2 x i n + x m i n t ) = ( y trong p c , p c x trong )

Thật dễ dàng để tìm thấy x_2, y_2 x 2 , y 2 , số tiền dự trữ sau khi đúc mã thông báo LP và t t , số lượng mã thông báo LP mới được phát hành, vì vậy chúng tôi sẽ bỏ qua chúng ở đây.

Phí xây dựng trên không thu phí. Để giữ nguyên giá ngay cả sau khi tính phí, chúng tôi sẽ lấy 1/(1 + \gamma) 1 / ( 1 + γ ) phần đầu vào và phần \gamma γ đầu ra làm phí. Vì vậy mức phí hiệu dụng sẽ là \frac{2 \gamma}{1+ \gamma} 2 γ 1 + γ , xấp xỉ 2 \gamma 2 γ . Tuy nhiên, nếu xét đến các nhà kinh doanh chênh lệch giá, tốt hơn hết là nên thu toàn bộ phí đầu vào.

3. Người mẫu

Trong phần này, chúng tôi mô tả mô hình làm cơ sở cho phân tích của chúng tôi. Chúng tôi mô hình hóa một trò chơi dạng bình thường liên quan đến các nhà kinh doanh chênh lệch giá chiến lược. Điều này có nghĩa là mỗi người chơi không biết về giá thầu của người khác và tất cả giá thầu được gửi đồng thời. Ngoài ra, giá thầu của mỗi người chơi không bao giờ bị kiểm duyệt. Mặc dù giả định này không phản ánh hoàn hảo trạng thái hiện tại của blockchain, nhưng sự phát triển liên tục về mật mã và thiết kế thị trường được cải thiện, chẳng hạn như danh sách bao gồm, sẽ giúp thu hẹp khoảng cách giữa lý thuyết và thực tế. Công thức này gần giống với công thức của [CM24]; điểm khác biệt duy nhất là người chơi giờ đây “lấy” thanh khoản bị định giá sai thay vì cung cấp cho AMM.

3.1. Nhà tạo lập thị trường tự động

Đối với AMM, chúng ta sẽ sử dụng FM-AMM được giới thiệu ở Phần 2. Lưu ý rằng bản thân AMM không phải là một trình phát; chúng tôi giả định rằng LP của AMM là những nhà đầu tư thụ động sẽ không thực hiện bất kỳ hành động nào trong thời gian ngắn.

3.2. Nhà kinh doanh chênh lệch giá

Chúng tôi giả định rằng tất cả người chơi đều đồng nhất. Chúng trung lập với rủi ro và có thể thực hiện các giao dịch ở mọi quy mô và theo bất kỳ hướng nào trên CEX mà không bị trượt giá. Mục tiêu duy nhất của họ là tối đa hóa lợi nhuận.

3.3. Trò chơi chiến lược lấy thanh khoản

Đầu tiên, chúng ta giải quyết trò chơi với N N người chơi trong đó N N được cho ngoại sinh mà không tính đến chi phí giao dịch. Sau đó, chúng ta đưa ra một chi phí giao dịch hoàn toàn dương c c và suy ra N N từ điều kiện cân bằng. Chúng tôi sẽ hạn chế sự quan tâm của mình đối với các điều kiện có phí giao dịch dương, đảm bảo tính duy nhất của trạng thái cân bằng. Người chơi quan sát quỹ dự trữ X X , Y Y , và giá thực bên ngoài P P . Sau đó, họ gửi giá thầu (x_i, y_i) ( x i , y i ) , là số lượng token sẽ bán cho nhóm. Giá thanh toán bù trừ sẽ là:

\begin{align}P_c = \frac{Y + 2\sum^N_{i=1} y_i }{X + 2\sum^N_{i=1} x_i} \tag{1} \\\end{align }

P c = Y + 2 ∑ N i = 1 y i X + 2 ∑ N i = 1 x i (1)

Hàm tiện ích là lợi nhuận chênh lệch giá sau khi tính phí hoán đổi (và chi phí giao dịch, nếu có). Tiện ích của trình phát i i , U_i U i , là:

\begin{align}R_i = -(1 + \gamma)(P x_i + y_i) + (1 - \gamma)\left(\frac{P}{P_c}y_i + P_c x_i\right) \tag{2} \end{căn chỉnh}

R i = − ( 1 + γ ) ( P x i + y i ) + ( 1 − γ ) ( P P c y i + P c x i ) (2)

Bây giờ, chúng ta đã sẵn sàng để tìm sự cân bằng.

4. Phân tích cân bằng

4.1. N N được xác định ngoại sinh và chi phí giao dịch c c bằng 0

Đầu tiên chúng tôi giới thiệu bổ đề sau:

\text{Bổ đề. Phản hồi tốt nhất của người chơi } i\text{ là gửi giá thầu có ít nhất một thành phần 0, tức là } (x_i, 0) \text{ hoặc } (0, y_i).

Bổ đề. Phản hồi tốt nhất của người chơi i là gửi giá thầu có ít nhất một thành phần 0, nghĩa là ( x i , 0 ) hoặc ( 0 , y i ) .

Bằng chứng là đơn giản. Giả sử (x_i, y_i) ( x i , y i ) và (x'_i, y'_i) ( x ′ i , y ′ i ) dẫn đến giá thanh toán bù trừ như nhau. Khi đó x_i \leq x'_i x i ≤ x ′ i nếu và chỉ khi y_i \leq y'_i y i ≤ y ′ i . Kết hợp những điều này và trừ bớt tiện ích của cái này với cái kia sẽ mang lại kết quả mong muốn.

Trong khi đó, điều kiện đặt hàng đầu tiên và điều kiện lợi nhuận cho chúng ta phản hồi tốt nhất là khi P_{-i} P − i được xác định là P_{-i} = \frac{Y + 2\sum^N_{j \neq i} y_j {X + 2\sum^N_{j \neq i} x_j} P − i = Y + 2 ∑ N j ≠ i y j X + 2 ∑ N j ≠ i x j , gửi x_i x i hoặc y_i y i sao cho có giá trị sau:

\begin{align}P_c =\begin{cases}\sqrt{\frac{1 - \gamma}{1 + \gamma} P P_{-i}} & \text{if } \frac{1 - \gamma} {1 + \gamma} P \geq P_{-i} \\\sqrt{\frac{1 + \gamma}{1 - \gamma} P P_{-i}} & \text{if } \frac{1 + \gamma}{1 - \gamma} P \leq P_{-i}\end{cases}. \tag{3}\end{căn chỉnh}

Pc = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ √ 1 − γ 1 + γ P P − tôi nếu 1 − γ 1 + γ P ≥ P − i √ 1 + γ 1 − γ P P − tôi nếu 1 + γ 1 − γ P ≤ P − i . (3)

Nếu không, tốt hơn là không gửi bất kỳ đơn đặt hàng nào (tức là giá thầu). Người ta có thể nghĩ về \frac{1+\gamma}{1-\gamma}P_{-i} 1 + γ 1 − γ P − i và \frac{1-\gamma}{1+ \gamma}P_{-i} 1 − γ 1 + γ P − i là mức giá ngưỡng để hoạt động kinh doanh chênh lệch giá có lãi. Lưu ý rằng điều này đúng với mọi i i , do đó P_{-i} = P_{-j} P − i = P − j với mọi i i và j j , điều này cho chúng ta biết trạng thái cân bằng là đối xứng và luôn tồn tại.

Từ giờ trở đi, chúng tôi chỉ coi giá bên ngoài đủ cao hơn giá giao ngay của nhóm, Y/X Y / X . Trường hợp ngược lại có thể giải theo cách tương tự. Rõ ràng là x_\text{eq} = 0 x eq = 0 cho trường hợp chúng ta đang giải quyết. Khi đó, (3) ( 3 ) tương đương với:

\begin{align}\frac{Y + 2Ny_\text{eq}}{X} = \sqrt{\frac{1-\gamma}{1+\gamma}P\cdot \frac{Y + 2 (N- 1) y_\text{eq}}{X}} \tag{4}\end{align}

Y + 2 N y eq X = √ 1 − γ 1 + γ P ⋅ Y + 2 ( N − 1 ) y eq X (4)

Giải (4) ( 4 ) ta được

\begin{align}y_\text{eq} = \frac{1}{4N^2}\left[ (N - 1) \cdot \frac{1-\gamma}{1+\gamma} \cdot PX - 2NY + \sqrt{(N-1)^2 + 4N \cdot \frac{Y}{X} \cdot \frac{1+\gamma}{1-\gamma} \cdot \frac{1}{P} } \cdot \frac{1-\gamma}{1+\gamma}\cdot PX \right] \tag{5}\end{align}

y eq = 1 4 N 2 [ ( N − 1 ) ⋅ 1 − γ 1 + γ ⋅ P X − 2 N Y + √ ( N − 1 ) 2 + 4 N ⋅ Y X ⋅ 1 + γ 1 − γ ⋅ 1 P ⋅ 1 − γ 1 + γ ⋅ P X ] (5)

Từ giờ trở đi, chúng ta sẽ tiến hành các phép tính gần đúng căn bản do tính phức tạp của nó. Mặc dù chúng tôi không cung cấp bất kỳ bằng chứng chặt chẽ nào về tính hợp lệ của các phép tính gần đúng như vậy, nhưng chúng tôi sẽ thấy nó hoạt động tốt trong các mô phỏng sau này. Đặt P_0 = \frac{Y}{X} P 0 = Y X và \varepsilon = \frac{1-\gamma}{1+\gamma} \cdot \frac{P}{P_0} - 1 ε = 1 − γ 1 + γ ⋅ P P 0 − 1 , tức là chênh lệch giá giữa giá ngưỡng và giá bên ngoài. Xấp xỉ y_\text{eq} y eq với \varepsilon ε thông qua chuỗi Taylor cho chúng ta một dạng đơn giản hơn:

\begin{align}y_\text{eq} &= \frac{Y}{4N^2}\left[ (N-1) \cdot (1+ \varepsilon) - 2N +(1+\varepsilon)\sqrt {(N-1)^2 +\frac{4N}{1+\varepsilon}}\right] \tag{6} \\&\approx \frac{Y}{2(N+1)} \varepsilon + o(\varepsilon^2) \tag{7}\end{align}

y eq = Y 4 N 2 [ ( N − 1 ) ⋅ ( 1 + ε ) − 2 N + ( 1 + ε ) √ ( N − 1 ) 2 + 4 N 1 + ε ] ≈ Y 2 ( N + 1 ) ε + o ( ε 2 ) (6) (7)

Sử dụng (7) ( 7 ) , người ta có thể tính lợi nhuận của các nhà kinh doanh chênh lệch giá cá nhân và tổng thiệt hại của AMM đối với các nhà kinh doanh chênh lệch giá:

\begin{align}ARB &\approx L\sqrt{P_0}\cdot\left(\frac{1+\gamma}{2(N+1)^2}\right)\cdot\varepsilon^2 \tag{ 8} \\LVR &\approx (1+\gamma)\cdot L\sqrt{P_0}\cdot\left(\frac{N}{2(N+1)^2}\right)\cdot\varepsilon^ 2 \tag{9}\end{căn chỉnh}

A R B ≈ L √ P 0 ⋅ ( 1 + γ 2 ( N + 1 ) 2 ) ⋅ ε 2 L V R ≈ ( 1 + γ ) ⋅ L √ P 0 ⋅ ( N 2 ( N + 1 ) 2 ) ⋅ ε 2 (số 8) (9)

Do đó, giả sử chi phí giao dịch là 0 0 , với bất kỳ N N nào, mọi N N nhà kinh doanh chênh lệch giá sẽ gửi giá thầu giống hệt nhau và họ sẽ chia đều lợi nhuận, trong khi lợi nhuận của mỗi nhà kinh doanh chênh lệch giá cá nhân sẽ giảm dần theo O(N^{-2}) O ( N − 2 ) . Hơn nữa, khi N N tiến đến vô cùng, giá thanh t

Nguồn

Tuyên bố từ chối trách nhiệm: Nội dung trên chỉ là ý kiến của tác giả, không đại diện cho bất kỳ lập trường nào của Followin, không nhằm mục đích và sẽ không được hiểu hay hiểu là lời khuyên đầu tư từ Followin.

Thích

Thêm vào Yêu thích

Bình luận

Chia sẻ

Nội dung liên quan