0. TL;DR
我们介绍并详细介绍了 FM-AMM 的附加功能，如 [CF23] 中所述。我们在 FM-AMM 上模拟了 CEX-DEX 套利者之间的套利利润博弈，然后通过寻找纯策略纳什均衡来解决这个问题。最后，我们在理论设置下计算了 FM-AMM 的渐近 LVR，并通过数值模拟将其性能与 Uniswap V2 风格的固定费率费用 CPMM 进行了比较。我们的观察表明，性能在很大程度上受到价格波动、交易成本和流动性池规模的影响，在特定条件下，FM-AMM 对套利者的损失较小。
1. 简介
自从 [MMRZ22] 和 [MMR23] 中引入 LVR 以来，它迅速成为衡量 AMM 性能的标准。已经进行了许多尝试通过动态费用政策来降低 LVR，并且这项研究仍在继续。然而，除了 [CF23] 和 [GGMR22] 之外，批量交易执行并没有受到太多关注。在 [CF23] 中，作者提出了一种功能最大化的自动做市商 (FM-AMM)，声称它有效地消除了 LVR，并提供了数值模拟，将其性能与各种 Uniswap V3 池进行比较。他们后来声称CoW-AMM（他们对 FM-AMM 的实现）在实时环境中也表现良好，这引发了推特上关于其测量方法合法性的争论。虽然争论更多地集中在 markout 是否是衡量性能的有用指标，但零售订单流的存在和波动的交易成本也是准确比较它们性能的障碍。在本文中，我们分析了 FM-AMM 的性能，并在固定交易成本和没有零售订单流条件（如 [N22] 和 [E24] 中的情况）的情况下将其与 CPMM 进行了比较。
具体来说，我们稍微修改了他们的设计，并在一个博弈中找到了纳什均衡，在这个博弈中，套利者策略性地向（略作修改的）FM-AMM 提交订单以最大化他们的回报。这个博弈类似于 [MC24] 中介绍的流动性提供博弈，它是广义 Tullock 竞赛的一种特殊形式。由此产生的均衡具有许多有利的性质：解始终唯一存在，并且是对称的。此外，LVR 与参与者数量成反比衰减。该模型假设套利者的数量N N是预先确定的，交易成本c c为零。我们继续讨论一个模型，其中参与者的数量根据c c内生确定。在这种情况下，FM-AMM 并不总是更胜一筹；结果现在取决于跳跃大小、频率和成本。我们提供了数值模拟结果，并表明 FM-AMM 非常适合基于汇总的解决方案。
2. FM-AMM
在本节中，我们补充了 [CF23] 中引入的 FM-AMM 的省略细节，以处理更一般的情况。[CF23] 中引入的底层 AMM 曲线是：
y_\text{输出} = \frac{x_\text{输入}}{X + 2x_\text{输入}}Y，
y输出= x输入X + 2 x输入是的，
其中x_\text{in} x in是交易者愿意出售的代币X X的数量， y_\text{in} y in是她将收到的代币Y Y的数量。然而，这是最简单的情况，即批量中只提交单方订单。原始论文的作者处理这种情况时，假设用户只指定要买入或卖出的代币 X 的数量，这样订单的双方都存在于同一批中。不幸的是，这很难以完全链上的方式实现，因为在批次结算之前，无法保证交易者是否有足够的资金来购买指定数量的代币 X（卖出没有问题；我们可以从交易者那里提取代币并在结算时保留它）。我们将公式推广到处理更广泛的情况。假设X, Y为池子的储备， T为批量结算前 LP 代币的总供应量， x_\text{in}, y_\text{in} x in , y in 为交易者愿意出售的每种代币的总数量， x_\text{mint}, y_\text{mint} x mint , y mint为 LP 提供的每种代币的总数量。我们将从以下基本方程式开始：
\begin{align}\begin{bmatrix}x_{\text{mint}} \\y_{\text{mint}}\end{bmatrix}&=x_{\text{mint}} \begin{bmatrix}1 \\p\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\2\alpha\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x_{\text{in}} \\y_{\text{in}}\end{bmatrix}&=x_{\text{in}} \begin{bmatrix}1 \\p\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\\beta\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x_1 \\y_1\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}x_0 \cdot \frac{y_0 + \alpha + \beta}{y_0 + 2(\alpha + \beta)} \\y_0 + \alpha + \beta\end{bmatrix}\end{align}
[ x薄荷薄荷 ] = x薄荷[ 1页] + [ 0 2 α ] [ x在是 ] = x在[ 1页] + [ 0 β ] [ x 1是1 ] = [ x 0 ⋅ y 0 + α + β y 0 + 2 ( α + β ) y0 + α + β ]
这里， p p是清算价格， \alpha, \beta α , β分别是交换和铸造的净交换量。简而言之，在提交的订单中，我们只交换其中的一部分， \alpha α和\beta β ，然后通过 p2p 交换剩余部分，而不改变现货价格。
\begin{bmatrix}x_{\text{mint}} \\y_{\text{mint}} - 2\alpha\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}x_{\text{in}} \\y_{\text{in}} - \beta\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}x_1 \\y_1\end{bmatrix}
[ x薄荷y薄荷− 2 α ] , [ x在y在− β ] , [ x 1是1 ]
全部平行，则得出以下矩阵方程：
\begin{equation}\begin{bmatrix}2x_0 + 2x_{\text{mint}} & 2x_{\text{mint}} \\2x_{\text{in}} & 2x_{\text{in}} + x_0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha \\\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_0 y_{\text{mint}} - x_{\text{mint}} y_0 \\x_0 y_{\text{in}} - x_{\text{in}} y_0\end{bmatrix}\end{equation}
[ 2 x 0 + 2 x薄荷2颗薄荷2 x英寸2 x在+ x 0 ] [ α β ] = [ x 0 y薄荷− x薄荷y 0 x 0 y坐标− x坐标y 0坐标]
请注意，LHS 中矩阵的行列式始终严格为正，因此上述方程不是奇异的。 \alpha, \beta α , β分别为：
\begin{align} (\alpha, \beta) = \left( \frac{\frac{x_{0} y_{mint}}{2} + x_{in} y_{mint} - \frac{x_{mint} y_{0}}{2} - x_{mint} y_{in}}{x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint}}, \ \frac{x_{0} y_{in} - x_{in} y_{0} - x_{in} y_{mint} + x_{mint} y_{in}}{x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint}}\right) \end{align}
（ α ， β ） = （ x0ymint2 + x i n y m i n t − x m i n t y 0 2 − x m i n t y i n x 0 + 2 x i n + x m i n t ， x 0 y i n − x i n y 0 − x i n y m i n t + x m i n t y i n x 0 + 2 x i n + x m i n t ）
清算价格p_c p c为：
\begin{align}p_c = \frac{y_{0} + 2 y_{in} + y_{mint}}{x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint}}\end{align}
p c = y 0 + 2 y i n + y m i n t x 0 + 2 x i n + x m i n t
x_\text{out}, y_\text{out} x out , y out分别为：
\begin{align}(x_\text{out}, y_\text{out}) &=\left( \frac{y_{in} \left(x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint}\right)}{y_{0} + 2 y_{in} + y_{mint}}, \ \frac{x_{in} \left(y_{0} + 2 y_{in} + y_{mint}\right)}{x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint}}\right) \\&= \left(\frac{y_\text{in}}{p_c}, p_c x_\text{in} \right) \\\end{align}
（ x输出， y输出） = （ y i n （ x 0 + 2 x i n + x m i n t ） y 0 + 2 y i n + y m i n t ， x∈ （ y 0 + 2y∈ + ymint ） x 0 + 2x∈ + xmint ） = （ y在p c ， p c x在）
很容易就能找到x_2, y_2（铸造LP代币后的储备量）和t （新发行的 LP 代币数量），因此我们在这里跳过它们。
以上建设不收取任何费用。为了在收取费用后价格保持不变，我们将投入的1/(1 + \gamma) 1 / ( 1 + γ )部分和产出的\gamma γ部分作为费用。因此有效费率为\frac{2 \gamma}{1+ \gamma} 2 γ 1 + γ ，约为2 \gamma 2 γ 。考虑到套利者，最好还是在投入上收取全额费用。
3. 模型
在本节中，我们将描述我们分析所基于的模型。我们模拟了一个涉及战略套利者的正常形式博弈。这意味着每个玩家都不知道其他人的出价，并且所有出价都是同时提交的。此外，每个玩家的出价都不会受到审查。虽然这一假设并不能完美地反映区块链的现状，但正在进行的加密发展和改进的市场设计（如纳入名单）将有助于弥合理论与现实之间的差距。这个公式与 [CM24] 的公式几乎相同；唯一的区别是，玩家现在“拿走”错误定价的流动性，而不是将其提供给 AMM。
3.1. 自动化做市商
对于 AMM，我们将使用第 2 节中介绍的 FM-AMM。注意，AMM 本身并不是玩家；我们假设 AMM 的 LP 是被动投资者，短期内不会采取任何行动。
3.2. 套利者
我们假设所有参与者都是同质的。他们风险中性，可以在 CEX 上执行任何规模、任何方向的交易，而不会出现任何滑点。他们的唯一目标是实现利润最大化。
3.3. 流动性吸纳的战略博弈
首先，我们解决有N N个参与者的游戏，其中N N是外生给定的，不考虑交易成本。然后，我们引入严格为正的交易成本c c并从均衡条件中得出N N 。我们将兴趣限制在交易费为正的条件下，这保证了均衡的唯一性。参与者观察池子储备X X 、 Y Y和外部真实价格P P 。然后，他们提交出价(x_i, y_i) ( x i , y i ) ，即要卖给池子的代币数量。清算价格将是：
\begin{align}P_c = \frac{Y + 2\sum^N_{i=1} y_i }{X + 2\sum^N_{i=1} x_i} \tag{1} \\\end{align}
Pc = Y + 2∑Ni = 1yiX + 2∑Ni = 1xi （1）
效用函数是扣除掉期费（以及交易成本，如果适用）后的套利利润。玩家i i的效用U_i U i为：
\begin{align}R_i = -(1 + \gamma)(P x_i + y_i) + (1 - \gamma)\left(\frac{P}{P_c}y_i + P_c x_i\right) \tag{2}\end{align}
R我= − （ 1 + γ ） （ P x我+ y我） + （ 1 − γ ） （ P P c yi + Pcxi ) （2）
现在，我们准备寻找平衡点。
4.均衡分析
4.1 N N是外生决定的，且交易成本c c为零
我们首先引入以下引理：
\text{引理。玩家 } i \text{ 的最佳回应是提交至少有一个 0 分量的出价，即 } (x_i, 0) \text{ 或 } (0, y_i)。
引理。玩家i的最佳响应是提交至少有一个 0 分量的出价，即( x i , 0 )或( 0 , y i ) 。
证明很简单。假设(x_i, y_i) ( x i , y i )和(x'_i, y'_i) ( x ′ i , y ′ i )产生相同的清算价格。然后，当且仅当y_i \ leq y'_i y i ≤ y ′ i时，x_i \leq x'_i x i ≤ x ′ i 。将它们组合起来并从其中一个中减去另一个的效用即可得到所需的结果。
同时，一阶条件和盈利条件告诉我们，当P_{-i} P − i定义为P_{-i} = \frac{Y + 2\sum^N_{j \neq i} y_j }{X + 2\sum^N_{j \neq i} x_j} P − i = Y + 2 ∑ N j ≠ i y j X + 2 ∑ N j ≠ i x j时，最佳响应是，提交x_i x i或y_i y i使得以下成立：
\begin{align}P_c =\begin{cases}\sqrt{\frac{1 - \gamma}{1 + \gamma} P P_{-i}} & \text{if } \frac{1 - \gamma}{1 + \gamma} P \geq P_{-i} \\\sqrt{\frac{1 + \gamma}{1 - \gamma} P P_{-i}} & \text{if } \frac{1 + \gamma}{1 - \gamma} P \leq P_{-i}\end{cases}。 \tag{3}\end{align}
P c = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ √ 1 − γ 1 + γ PP −我如果1 − γ 1 + γ P≥P − i √ 1 + γ 1 − γ PP −我如果1 + γ 1 − γ P≤P − i 。 （3）
否则，最好不要提交任何订单（即出价）。可以考虑\frac{1+\gamma}{1-\gamma}P_{-i} 1 + γ 1 − γ P − i和\frac{1-\gamma}{1+ \gamma}P_{-i} 1 − γ 1 + γ P − i为使套利变得有利可图的阈值价格。请注意，这对每个i i都成立，因此对于每个i i和j j ， P_{-i} = P_{-j} P − i = P − j ，这告诉我们均衡是对称的并且始终存在。
从现在开始，我们只考虑外部价格足够高于矿池的现货价格Y/X Y / X 。相反的情况可以用类似的方式解决。很明显，对于我们处理的情况， x_\text{eq} = 0 x eq = 0。那么， (3) ( 3 )等同于：
\begin{align}\frac{Y + 2Ny_\text{eq}}{X} = \sqrt{\frac{1-\gamma}{1+\gamma}P\cdot \frac{Y + 2 (N-1) y_\text{eq}}{X}} \tag{4}\end{align}
Y + 2 N y当量X = √ 1 − γ 1 + γ P⋅Y + 2 （ N − 1 ） y当量X （4）
求解（4） （ 4 ）可得
\begin{align}y_\text{eq} = \frac{1}{4N^2}\left[ (N - 1) \cdot \frac{1-\gamma}{1+\gamma} \cdot PX -2NY + \sqrt{(N-1)^2 + 4N \cdot \frac{Y}{X} \cdot \frac{1+\gamma}{1-\gamma} \cdot \frac{1}{P}} \cdot \frac{1-\gamma}{1+\gamma}\cdot PX \right] \tag{5}\end{align}
y当量= 1 4 N 2 [ ( N − 1 ) ⋅ 1 − γ 1 + γ ⋅ P X − 2 N Y + √ ( N − 1 ) 2 + 4 N ⋅ Y X ⋅ 1 + γ 1 − γ ⋅ 1页⋅ 1 − γ 1 + γ ⋅ PX ] （5）
从现在开始，我们将继续使用激进近似，因为它很复杂。虽然我们没有提供任何严格的证据来证明这种近似的有效性，但我们会在后面的模拟中看到它的效果很好。设P_0 = \frac{Y}{X} P 0 = Y X且\varepsilon = \frac{1-\gamma}{1+\gamma} \cdot \frac{P}{P_0} - 1 ε = 1 − γ 1 + γ ⋅ PP 0 − 1 ，即阈值价格与外部价格之间的价格差。通过泰勒级数近似y_\text{eq} y eq和\varepsilon ε可以得到一个更简单的形式：
\begin{align}y_\text{eq} &= \frac{Y}{4N^2}\left[ (N-1) \cdot (1+ \varepsilon) - 2N +(1+\varepsilon)\sqrt{(N-1)^2 +\frac{4N}{1+\varepsilon}}\right] \tag{6} \\&\approx \frac{Y}{2(N+1)} \varepsilon + o(\varepsilon^2) \tag{7}\end{align}
等式= Y4N2 [ ( N − 1 ) ⋅ ( 1 + ε ) − 2 N + ( 1 + ε ) √ ( N − 1 ) 2 + 4 N 1 + ε ] ≈Y2 （ N + 1 ）ε + o ( ε 2 ) （6） （7）
利用（7） （ 7 ） ，可以计算出个体套利者的利润以及 AMM 对套利者的总损失：
\begin{align}ARB &\approx L\sqrt{P_0}\cdot\left(\frac{1+\gamma}{2(N+1)^2}\right)\cdot\varepsilon^2 \tag{8} \\LVR &\approx (1+\gamma)\cdot L\sqrt{P_0}\cdot\left(\frac{N}{2(N+1)^2}\right)\cdot\varepsilon^2 \tag{9}\end{align}
受体阻滞剂≈ L √ P 0 ⋅ ( 1 + γ 2 ( N + 1 ) 2 ) ⋅ε2左心室 ≈ ( 1 + γ ) ⋅ L √ P 0 ⋅ ( N 2 ( N + 1 ) 2 ) ⋅ε2 （8） （9）
因此，假设交易成本为0 0 ，对于任何N N ，每个N N套利者都会提交相同的出价，他们将平等分享利润，而每个套利者的利润将衰减O(N^{-2}) O ( N − 2 ) 。此外，随着N N趋于无穷大，清算价格P_c P c收敛到阈值价格，因此价格差异的平稳分布将与 [MMR23] 中的固定费率 CPMM 相同。
4.2 交易成本并非免费，套利者数量内生决定
现在，我们通过采用非零交易成本c c ，将 4.1 中的模型扩展为更现实的模型。效用函数与(2) ( 2 )中的相同，只是我们有一个附加项-c − c 。由于这一项在我们取导数时消失，因此只要有利可图，最佳反应就保持不变。因此，解决方案与(7) ( 7 )没有太大区别，只是N N被替换为N^{*} N ∗ ，其中N^{*} N ∗是满足L\sqrt{P_0}\cdot\left(\frac{1+\gamma}{2(N^{*}+1)^2}\right)\cdot\varepsilon^2 \geq c L √ P 0 ⋅ ( 1 + γ 2 ( N ∗ + 1 ) 2 ) ⋅ ε 2 ≥ c 。则 LVR 将为：
\begin{align}LVR &\approx (1+\gamma) \cdot L \sqrt{P_0} \cdot\varepsilon^2 \cdot \frac{N^{*}}{2(N^{*}+1)^2} \tag{10} \\&\approx cN^{*} \tag{11} \\&\approx c \left \lfloor \varepsilon\sqrt{\frac{1+\gamma}{2c} \cdot L \sqrt{P_0}}- 1 \right\rfloor \tag{12} \\&\leq \varepsilon\sqrt{(1+\gamma)2c \cdot L \sqrt{P_0}} \tag{13}\end{align}
左心室 ≈ ( 1 + γ ) ⋅ L √ P 0 ⋅ ε 2 ⋅ N ＊ 2 ( N ＊ + 1 ) < 
