区块链机制数学、术语和象形文字简介，适合那些在与同行讨论白皮书时想要显得聪明的休闲人士

亚历克斯·瓦茨等人

摘要：从事 DeFi 工作的机制设计师非常喜欢写白皮书。他们非常喜欢它。也许太多了。他们也喜欢用一种古老的、基于象形文字的语言来写这些论文，而这种语言对于一个正常的、适应社会的人来说很难解读。这是不幸的，因为一旦你理解了他们的外星术语，大多数数学和博弈论实际上是相当简单的。在本文中，我将为您提供与同行讨论这些白皮书时所需的工具，让您听起来很聪明，这是一项非常重要的技能，因为您的同行很可能也在努力让自己听起来很聪明。

让我们从这一部分开始—「摘要」。本节其实只是白皮书的摘要。在本节中，机制设计师将总结一个问题，然后他们将总结他们的解决方案，然后 - 如果他们做得好 - 他们还将总结论文的缺点。我们可能永远不知道为什么机制设计师喜欢将这一部分称为“抽象”而不是“摘要” - 事实上，我们可能永远不会知道他们为什么要做他们所做的大部分事情。但透过阅读本文，希望您能够更好地理解他们在做什么——如果您对这种事情感兴趣，那么您可以了解他们是为谁做的。

直观上看，这篇论文没有任何缺点。但如果我只能选一个，那就是这篇论文中的许多资讯都是故意错误的。非常错误。我对这些解释的许多解释都还很遥远。但我并不是拜占庭式的——顺便说一句，拜占庭式的意思是“不诚实”或“敌对”，两千多年前，这可能会被人力资源部门标记为对拜占庭帝国公民的种族攻击。所以，是的，我并不是拜占庭式的——我只是过度简化了事情，以使概念在预期中更容易理解。

套

集合是一组事物。

顺便说一句，如果您读完最后一句话后的第一个想法是“这个定义遗漏了很多！” 」 然后请注意：从这里开始一切都是下坡路。

• 场景很重要，因为机制设计师喜欢让整个群体的人或事物接受他们邪恶的设计。
• 集合以大写字母表示（例如X X或Y Y ）。
• 定义集合时，它们通常用括号括起来。例如，一组三个数字可以写成X = \{1,2,3\} X = { 1 , 2 , 3 } 。
• 此集合的成员以小写字母表示（例如x x或y y ）。

这些机制设计师喜欢在他们的白皮书中使用一些看起来很有趣的符号，您可能应该学习这些符号：

• \in ε表示“in”，用于显示集合中的成员资格
  – 当你看到x ∈ X x ∈ X时，这表示x x是集合X X的成员。
  – 例：若X = \ { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20\} X = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 } ，则x ∈ X x ∈ X表示x x是这 10 个值之一。

• \cup ∪ 的意思是“联合”，意味著将两个集合并将其所有成员组合在一起（删除重复项）。
  – 当您看到X ∪ Y X ∪ Y时，这表示您正在组合X X和Y Y集。
  – 例：若X = \{1, 2, 3, 4\} X = { 1 , 2 , 3 , 4 } ，且Y = \{3, 4, 5\} Y = { 3 , 4 , 5 }则X ∪ Y = \{1,2,3,4,5\} X ∪ Y = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 。

• \cap ∩ 的意思是“交集”，意味著取两个集合并仅从它们的共同成员中创建一个新集合。
  – 当您看到X ∩ Y X ∩ Y时，这表示您正在取集合 X 和 Y 的交集。
  – 例：若X = \{1, 2, 3, 4\} X = { 1 , 2 , 3 , 4 } ，且Y = \{3, 4, 5\} Y = { 3 , 4 , 5 }则X ∩ Y = \{3,4\} X ∩ Y = { 3 , 4 } 。

• \subset ⊂表示「子集」 - 第一个集合的所有元素都存在于第二个集合中。

• \supset ⊃表示「超集合」－第二个集合的所有元素都存在于第一个集合中。请注意，如果您看到这一点，那么您正在处理一个特别麻烦的 Mechanism Designer 品牌，您应该警惕更多的诡计。

• : : （冒号）通常表示“如果”，并且经常与看起来有趣的颠倒的 A 一起出现。

• \forall ∀ 的意思是“对于所有人”，旨在迭代一组集合，通常是在创建另一个集合时。
  –如果您是程式设计师，每当您看到\forall ∀时，都会想到「for 回圈」。
  – 通常\forall ∀和: :用于迭代一组集合以建立新的集合。
  –范例：考虑这个可怕的表达式： Y = \{2x, \ \forall x\in X : x>3 \} Y = { 2 x , ∀ x ∈ X : x > 3 } 。英文翻译的意思是“ Y Y是一组数字，是通过取X X中大于3 3的每个x x ，然后将该x x乘以2 2而创建的。”为了后代的缘故，如果X = \{1, 2, 3, 4, 5 \} X = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }则可以得出（又称\Rightarrow ⇒ ，我们稍后将讨论) Y = \{8, 10 \} Y = { 8 , 10 } 。

• 警告：在定义集合时，机制设计师非常喜欢移动变数或完全删除它们。他们这样做不是为了让你感到困惑，而是为了让彼此感到困惑——大概是为了增加他们的工作保障。例如， Y = \{2x, \ \forall x\in X : x>3 \} Y = { 2 x , ∀ x ∈ X : x > 3 } 。这与Y = \{2 \cdot x\in X : x>3 \} Y = { 2 ⋅ x ∈ X : x > 3 }或Y = \{z \in \{2x, \forall x\in X \} : z>6 \} Y = { z ∈ { 2 x , ∀ x ∈ X } : z > 6 } 。请注意任何使用线性代数来定义集合的人（寻找括号、集合乘以集合或括号中称为「元组」的多个事物的集合）。它们是机制设计者中最难理解的种类之一，除了最熟练的设计者之外，所有人都应该避免使用它们。事实上，如果他们中的一个人现在正在阅读这篇文章，那么他们可能正在做白日梦来纠正作者——可能使用了诸如“向量”或“标量”之类的虚构单词。

• \mathbf{card}(X) c a r d ( X )或|X| | X |是集合X X的「基数」。这是「 X X中事物的数量」的一种奇特说法。若X = \{ 1, 17, 31, 5\} X = { 1 , 17 , 31 , 5 }则|X| = \mathbf{卡片}(X) = 4 | X | = c a r d ( X ) = 4 。请记住|X| | X |是X X的大小，而|x| | x |是x 的绝对值 \in X x ∈ X ；保持警惕，并记住，只有你让机制设计者获胜，他们才会获胜。

您应该了解一些著名的套装，因为机制设计师非常喜欢让您知道他们也了解它们：

• \mathbb{Z} Z是所有整数的集合。
• \mathbb{R} R是所有实数的集合。
• \mathbb{E} E根本不是一组数字 - 它的意思是「的期望」并且用于机率。但它看起来与这些奇特的套装很相似，所以要小心不要混淆。他们就是这样得到你的。
• \mathbb{C} C是无尽痛苦的集合。如果你看到它，就跑。

机制设计师在定义新集合时通常会使用这些奇特的集合。例如，他们可能会说X \subset \mathbb{Z} X ⊂ Z ，这意味著X X是\mathbb{Z} Z的子集，这意味著X X中所有可能的x x都必须是整数。如果您想知道“为什么机制设计者不直接说该集合仅由整数组成？”答案是因为他们讨厌你。

随机性和机率性

机制设计师根本无法满足的两件事是直觉和期望。

「直觉上…」或「直觉是…」意味著机制设计师将要告诉你一些他们认为非常明显的事情，他们不会解释它，因为只有白痴才会不同意。不幸的是，对于所有人P P集合中的机制设计者i i来说，白痴集合M = \{ p, \forall p \in P : p \not = i \} M = { p , ∀ p ∈ P : p ≠ i } ，用英文来说，意思是「白痴集合中所有不是机制设计者的人」 。如果你想了解机制设计师的直觉，最好的机会是他们文化中的传统方法，即在用燧发枪决斗击败他们后寻求解释。凭直觉，你应该一定要快点问。

「期望是…」或「…在期望中」。意味著机制设计师将要做一些数学运算，我们可以预期数学运算将涉及机率。大概。

• P(y) P ( y )是事件 y 发生的机率。范例：对于抛硬币， P(\text{heads}) = 0.50 P ( Heads ) = 0.50

• P(y \cap z) P ( y ∩ z )是事件y y和事件z z都发生的机率。这也缩写为P(y, z) P ( y , z ) 。

• P(y \cup z) P ( y ∪ z )是事件y y或事件z z发生的机率。

• P(y | z) = P ( y | z ) =如果我们假设事件z z已经发生，则事件y y发生的机率。例如，假设有一次抛硬币，但这次有一个作弊者使用加权硬币，可以将赔率从 50-50 更改为 80-20。在这种情况下， P(\text{正面下注} | \text{作弊者押注正面} | \text{作弊者翻转}) = 0.80 P (正面|作弊者押注正面|作弊者翻转) = 0.80且P(\text{正面} | \text{作弊者押注于反面} | \text{作弊者的翻转}) = 0.20 P (正面|作弊者押于反面|作弊者的翻转) = 0.20 。

• \mathbb{E}[X] = E [ X ] = X 的预期（或机率，如果你想听起来很聪明，但实际上是错误的）值。你得到0 美元尾部为 $1，正面为 $1，则\mathbb{E}[\text{game}] E [ game ] = $0.50。注意，如果我们想将游戏的结果视为一个集合，则{E}[X] = \{ {E}[\text{heads}], \ {E}[\text{tails}]\} = \{ \$0, \$1 \} E [ X ] = { E [头] , E [ tails ] } = { $ 0 , $ 1 } ，且\mathbb{E}[X] E [ X ]只是X X中可能结果的期望值（也称为「期望」）的平均值。

• \mathbb{E}[X|y] = E [ X | y ] =如果我们假设y y发生，则X X的期望值。例如，如果有一个抛硬币的游戏，如果反面朝上，您将获得0 美元，正面朝上您将获得1 美元，但有一个作弊者使用加权硬币，可以将赔率从50-50 更改为80 -20（对您不利），那么\mathbb{E}[\text{游戏} | \text{骗子的翻转}] E [游戏|骗子的翻转] = 0.20 美元。
  –现在想像一下，作弊者有时会掷硬币，而你则在其余时间掷硬币：
  \mathbb{E}[\text{游戏}] = \left( \mathbb{E}[\text{游戏} | \text{作弊者的翻转}] \times P(\text{作弊者的翻转}) \right) \ + \ \left( \mathbb{E}[\text{游戏} | \text{你的翻牌}] \times P(\text{你的翻牌}) \right) E [游戏] = ( E [游戏|作弊者的翻牌] × P （作弊者的翻转） ） + ( E [游戏|你的翻牌] × P (你的翻牌) )

• \mathbb{P}(x) P ( x )只是P(x) P ( x )的一种奇特说法。一些机制设计者坚持认为，如果P(x) P ( x )是x x的机率， \mathbb{P}(x) P ( x )就是期望中x x的机率，但没有人知道这意味著什么，所以我们只是忽略它们并继续我们的生活。

花式数学

Σ（总和）

这个西格玛可能是大学期间兄弟会或姐妹会身份的关键部分，但它还有另一个不太重要的用例：数学。

\sum^n_{x=1}f(x) = Σ n x = 1 f ( x ) =从1 1到n n的所有x x值的f(x) f ( x ) 总和。

换句话说，它是一个“for 回圈”，对f(x) f ( x )的不同值求和，其中 x 的范围在 1（底部）和n n （顶部）之间。

数学范例：

\sum^4_{x=1}2x = 2+4+6+8 = 20 Σ 4 x = 1 2 x = 2 + 4 + 6 + 8 = 20

请注意，您可以用集合替换\sum Σ的范围符号。若X = \{1, 2, 3, 4 \} X = { 1 , 2 , 3 , 4 }则

\sum_{x \in X} 2x \ = \ 2 + 4 + 6 + 8 \ = \ 20 \ = \ 2\sum_{ X} Σ x ∈ X 2 x = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 2 Σ X

机制设计者非常喜欢讨论x x应该从 1 还是 0 开始，虽然没有人知道为什么。权威专家推测这是它们交配仪式的核心部分，但结果仍没有定论。

∏（产品）

这*「来自恐怖谷的圆周率」*其实是个产品：

\prod^n_{x=1}f(x) = ∏ n x = 1 f ( x ) = f(x) f ( x )对于从1 1到n n 的所有x x值的乘积。

最好的解释方式是透过比较：

\sum : \prod :: \text{加法}: \text{乘法} Σ : ∏ : :加法:乘法
如果您不记得 SAT 中的 : :: : 比较格式，那么您就无法挽救了。

\bigcup^x_y \text{ 或 } \binom{n}{k} ⋃ x y或( n k ）
除非x x和y y都是很小的、看起来很正常的数字，否则你的日子将会非常糟糕。数学并不难，只是写起来真的很痛苦。左边的是集合并集合的迭代器，右边的是二项式系数。

d/dx （衍生品）

兴奋吧，因为终于到了大家最喜欢的科目：微积分！

f(x)\frac{d}{dx} = f'(x) = \text{f(x) 的导数} f ( x ) d d x = f ′ ( x ) = f ( x )的导数

导数衡量一件事的变化率（可能是x x ）相对于另一件事的变化率（可能是y y ，但如果机制设计者完全驯化的话，可能是t t ）。如果f(x) f ( x )是一条线，则其导数就是该线的斜率。换句话说，就是线路的变化率。如果有一条线在 x 轴上绘制“时间”，在 y 轴上绘制汽车距起点的距离，那么该线的导数将是汽车的速度（位置相对于位置变化的速率）时间变化的速率）。如果汽车的速度在 y 轴上，那么该线的导数就是汽车的加速度。这是他们在计算 1 中教授的内容，但从高中起你就不再需要使用它，因为直到最近讨论「新机制」才变得很酷。看来你的老师一直都是对的。

∫（积分）

这条弯曲的线是一条「积分」。有趣的事实 - 圣经中没有积分。

\int^x_yf(x) = ∫ x y f ( x ) =积分，又称「反导数」。

如果函数f(x) f ( x )在图形上建立一条线，则其积分是其下方的面积。即使你的高中老师也会承认你不太可能在日常工作中使用积分。毕竟，除非您是数学老师或必须处理机制设计师白皮书中的预期机率，否则积分几乎没有用处。说到这里…

回到机率

累积分布函数

F_X(x) F X ( x )是累积分布函数，也称为 CDF。如果你有一个分布X X （这是x x可能的所有可能值的集合），那么F_X(x) = \mathbb{E}[P(x > X)] F X ( x ) = E [ P ( x > X ) ] ，这是x x大于从集合X X中随机选择的值的机率。

例：若X = \ { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 \} X = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 }和x = 8 x = 8 ，则F_X(8) = 0.30 F X ( 8 ) = 0.30因为当您从X X中抽取一个随机数时，只有30% 的机会您会得到以下三个数字之一：小于 8（2、4 和 6）。

机率密度函数

f_X(x) f X ( x )是机率密度函数，也称为 PDF。它基本上是说从X X中随机选择的值等于x x 的机率。

例：若X = \ { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 \} X = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 }那么f_X(6) = 0.10 f X ( 6 ) = 0.10因为我们有 10% 的机会从集合中抽出 6。换句话说， f_X(x) = \mathbb{E}[P(x = X)] f X ( x ) = E [ P ( x = X ) ] 。不要过多考虑这个方程式 - 如果x = X x = X的想法对您来说似乎是矛盾的，这是一个好迹象，表明您仍然是一个健康、正常的人。

例： X = \{2, \ 2, \ 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 \} X = { 2 , 2 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 } （请注意，我们将 4 替换为另一个 2），则f_X(2) = 0.20 f X ( 2 ) = 0.20且f_X(4) = 0.0 f X ( 4 ) = 0.0 。

请注意， F_X(x) F X ( x )在分析拍卖时非常有用，因为如果X X是所有出价的集合，则F_X(x) F X ( x )是我们的出价x x大于随机出价的机率选定的出价， F_X(x)^n F X ( x ) n是我们的出价x x大于n n个出价的机率。

上一节的微积分发挥作用，因为机率密度函数f_X(x) f X ( x )是累积分布函数F_X(x) F X ( x )的导数，而累积分布函数是下列积分机率密度函数：

f_X(x) = F_X(x)\frac{d}{dx} f X ( x ) = F X ( x ) d d x
F_X(x) = \int^{\infty}_{- \infty} f_X(x) F X ( x ) = ∫ ∞ − ∞ f X ( x )

我们经常需要使用微积分来计算某人出价的可能性和一个出价高于另一个出价的可能性。

拍卖象形文字

人们通常将拍卖中的玩家集合（所谓的）称为P P ，将玩家集合中的玩家称为i i 。没有人知道为什么选择了i i而不是p p ，但这可能是为了让机制设计师可以到处说“i玩家”并互相嘲笑他们聪明的内部笑话。这种情况已经持续了几十年。

如果出价称为b b则b_i b i将是i i的出价。如果你想比较两个玩家， j j通常是「另一个玩家」的替身，而-i − i是「除i i之外的所有玩家」的替身。

字母上方（或下方）的符号

有时，机制设计师可能会想与您分享一个与现有公式相似的新公式，但只是略有不同。如果您在字母上方或下方看到奇怪的符号，则可能表示方程式或变数已添加了某些内容以使其更加特别。

以下是一些范例：

• 如果i i是拍卖中的玩家（竞标者）， i' i '可能就是他的死对头。
  \item 如果b_i b i是玩家i i的出价，则b^*_i b ∗ i可能是最优出价。
  –警告：您可能想知道， 「不是所有出价都是最佳出价吗？为什么玩家我会出价不是最佳的？但你永远不应该大声问这个问题——这被认为是非常不合适的，而且你最终会被列入名单。
• 如果说g(x) g ( x )是一个适用于所有人的函数，那么 g_i(x) g i ( x )就是一个只适用于像i i这样的特殊玩家的函数。
• 如果t_i^2 t 2 i不是t_i t i 的平方，则可能表示它是t_i t i序列中属于i i的第二个t t 。也许 2 在底部，但是我们应该把i i放在哪里来将t t标记为特殊呢？这是机制设计师花费大部分时间来解决这类难题的完美例子。

ε（厄普西隆）

机制设计者使用\epsilon ϵ (epsilon) 符号来表示一个不平凡的量，这很讽刺，因为它代表了一个微不足道的量。顺便说一句，琐碎只是「微小」的一种听起来更酷的说法。机制设计师可能会说「最佳投标价值是市场价格减去 epsilon」 ： b^*_i = v_i - \epsilon b ∗ i = v i − ϵ 。

⋅（点东西）

虽然这可能意味著乘法，但如果您在函数内部看到它本身，那么这可能意味著机制设计者很懒，不想复制和贴上他们的数学。您通常只有在看过完整版本后才会看到此内容。例如，如果您不幸看到类似y = z + g(x^2+\mathbb{E}[Z] - \epsilon ) y = z + g ( x 2 + E [ Z ] − ϵ ) ，然后您可能会看到a = 2z + g(\cdot) a = 2 z + g ( ⋅ ) ，其中\cdot ⋅是x^2+\mathbb{E}[Z] 的替代品- \epsilon x 2 + E [ Z ] − ϵ 。

⇒（因此）

如果机制设计师想要证明为什么某件事是这样的，他们可能会使用这个箭头。它的意思是“因此”或“因此......”。例如，如果机制设计师想要展示他的机制的大小证明他真的很聪明，它可能看起来像：

\mathbf{card}(mechanism_i) > \mathbf{card}(mechanism_{j}) \forall j\in P : j \not = i \Rightarrow F_{IQ}(iq_i) = 1 - \epsilon c a r d ( m e c a n i s m i ) >卡( m e c a n i s m j ) ∀ j ∈ P : j ≠ i ⇒ F I Q ( i q i ) = 1 − ϵ

一个很好的练习是评估您是否真正理解了这个方程式。如果你这样做了，那就代表你一直在关注这篇论文！不幸的是，这也意味著你的期望不那么酷。实际的英文翻译是「如果玩家 i 制造的机制中的事物数量大于玩家 j 制造的机制中的事物数量，对于世界上所有可能的不是玩家 i 的玩家 j，那么它由此可见，玩家i 的IQ有100% 的机会（减去极小的百分比）大于从世界上所有IQ 分布中随机选择的IQ。

ψ、θ、γ、δ、σ、ψ、τ 或其他希腊字母

机制设计师喜欢定义变数。与他们的死敌数学家不同，机制设计师非常喜欢他们的变数具有异国情调，因此他们经常使用小写希腊字母。阅读机械装置的白皮书时，最好始终准备好希腊字母表，这样你就可以快速检查设计者是否引用了一个变量（这很正常），或者使用某种基于仪式牺牲的召唤数学——这是一个危险信号。直观地说。

听起来很聪明的拍卖条款

事前和事后

当拍卖者在知道物品的价值之前必须弄清楚他们对物品的出价是多少时，拍卖被称为事前拍卖。如果在出价时已知物品的价值，则拍卖称为事后拍卖。这是罕见的案例之一，其中晦涩的拍卖语言实际上没有它所描述的那么冗长。干得好，机制设计师！你做到了！

一价和二价拍卖

最高价拍卖是出价最高者按其出价支付的拍卖。第二价拍卖是最高出价者支付第二高价者出价的拍卖。机制设计者确实喜欢第二价格拍卖，因为他们向受益人支付的费用比第一价格多，但他们也更容易作弊，因此需要更强大的机制。

警告：切勿询问机制设计师为什么第二价格拍卖比第一价格拍卖更好。这就像问你的妻子最近是否做了什么有趣的梦，或者工作中那个她不喜欢的女孩是否又造成了任何问题。如果机制设计师提出第一价格与第二价格的话题，只需直视他们的眼睛，然后用坚定的声音告诉他们， “通过正确设计的机制和密封的出价，第二价格的拍卖显然，均衡会导致预期的更多拍卖收入！这种反应是严格优势策略。

密封投标意味著“私人”

无论如何，这就是直觉。

实用功能

效用函数，通常称为收益函数，是指某人认为某物的价值。它通常以期望 来衡量，但这是由法国人开发的，因此\mathbb{E} E是不发音的。

例：若U(x) U ( x )是效用函数，则U_i(b_i, b_{-i}) U i (