关于激励匿名参与

05-27

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关于激励匿名参与

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简而言之，区块链活动通过参与共享协议的独立参与者来促进。激励这种参与是一个关键的设计考虑因素，尤其是在无需许可、对抗和匿名的环境中。我们在第 1 节中提出了一个模型并激励参与博弈。在第 2 节中，我们分析了该博弈的对称匿名均衡。然后，我们将该框架应用于两种环境。第 3 节详细介绍了证明者市场，旨在激励至少一个证明的生成。第 4 节转向工作量证明协议，旨在激励至少 50% 的参与（旨在避免 51% 攻击）。在这两种情况下，我们都推导出协议的最佳激励结构，以最小化其成本。我们在第 5 节中总结如何扩展该模型以及用于引导参与的其他特定于区块链的技术。
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作者： maryam & mike – 2025 年 5 月 26 日。
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感谢Akilesh 、 Noam 、 Matt和Barnabé对这篇文章的审阅和讨论！

内容

（1）动机与模型
 （1.1）参与博弈模型
 (1.2). 一个简单的、非匿名的解决方案
 (1.3). 非对称均衡
 （2）彩票支付规则的对称均衡
 (2.1). 考虑较大的n n
（3）证明者市场成本最小化
 （3.1）针对至少一个参与者进行优化
 （3.2）。渐近线
 （3.3） 1 + \ln c 1 + ln c边界很紧
 （4）工作量证明目标函数
 （4.1）。渐近线
 （5）结论与未来工作
 (5.1). 替代成本函数
 （5.2）异构主体与信息不对称
 （5.3）代币、空投和区块链应用

1. 动机与模型

开场片段——你在附近的体育酒吧，有一张桌子准备观看NBA季后赛。你不想一个人看，所以打算让群聊里的人知道你也在。为了让大家更有可能来，你主动提出买第一轮鸡翅，但你首先需要决定点多少。如果你点的太少，可能会没人来，因为他们会担心其他人会去，导致鸡翅不够吃。如果你点的太多，即使大家都来了，桌子上也坐不下了。那么，为了保证你的朋友能来，而不是所有朋友都来，最佳的鸡翅数量是多少呢？ ¹

这个故事在区块链协议设计中经常出现。协议希望以某种形式吸引参与，并使用激励措施来引导参与：

工作量证明提供区块奖励来激励矿工解决加密难题。
权益证明为区块上的质押和正确投票提供共识奖励。
证明者市场协调计算密集型的 ZK 证明的生产。

至关重要的是，区块链还希望允许无需许可的参与。这使得协调问题更加困难。本文提出了一个激励参与的模型，并分析了匿名、共同价值支付规则的对称均衡。具体来说，我们研究了每个参与者都以概率p采取购买彩票的混合策略时的均衡。

1.1.参与博弈模型

我们对参与博弈进行如下建模：

玩家——玩家是一个战略代理，可以根据机制选择购买入场券。
参与者——参与者是购买入场券的玩家。
协议——该协议是一个具有成本函数（或等效地，积极的估值函数）的代理，用于诱导参与。
付款规则——协议实现的功能，将参与者集合映射到各自的付款。

假设参与博弈中有n名玩家。每位玩家面临相同的入场费q ，因此这是一个共同价值拍卖。为简单起见，在本文的其余部分我们使用q= 1 。每位参与者都可以确定性地决定是否加入；他们也可以选择采用随机策略，以一定的概率p加入。在决定是否加入之前，参与者需要遵守协议指定的支付规则。支付规则可能取决于已实现的参与者集合，并且可以随机化。每位参与者选择一个行动来最大化他们的预期效用，即他们收到的预期付款减去入场费（如果他们选择参与）。

以下两节介绍匿名性和对称性的概念。

1.2. 一个简单的非匿名解决方案

假设该协议旨在吸引至少一名参与者，并假设玩家通过决胜局来决定是否参与。一个简单的机制如下：“选择一位特定的玩家，记为WINNER ，并告诉他们，如果他们参与，你将支付他们 1 美元。” 这个简单的解决方案具有许多理想的性质：

每个人的个体理性（因为每个参与者不参与都会获得零效用），并且
令人满意的参与均衡（ WINNER将参与，并且没有其他人会参与），并且
协议的支付最小化（因为 1 美元是门票费，因此是获得参与者的最小成本）。

如果协议设计者愿意选择获胜者，那么这个解决方案就足够了。2 我们不会就此止步，而是专注于^一组匿名的解决方案。

定义（非正式）：匿名支付规则不能依赖于玩家的身份。

我们在第 3.3 节中形式化地阐述了这一属性，但希望它直观易懂。这些支付规则必须平等对待每位玩家。规则可以取决于玩家的行为（例如，将奖金平均分配给所有参赛者），也可以随机化（例如，将奖金随机分配给单个参赛者）。然而，上述机制依赖于玩家的身份，并非匿名。

1.3. 非对称均衡

另外，考虑以下场景：“一位玩家，记为COMMITTER ，公开承诺购买门票并成为参与者。”根据支付规则，此承诺可能会抑制其他玩家参与。例如，假设支付规则将 1 美元的奖金平均分配给所有参与者。在这种情况下，第二个考虑加入的玩家必然会产生负效用，因为他支付 1 美元却获得 1/2 美元。这导致没有其他人加入协议，而COMMITTER获得全部奖金。这种均衡最小化了协议的支付，但要求参与者选择COMMITTER ，从而将协调的复杂性转嫁给玩家。我们以此例为动机，将注意力限制在对称均衡上。

定义：在对称均衡中，每个玩家使用相同的策略。

该策略可以是确定性的（例如，总是买票并参与），也可以是混合性的（例如，以概率p p买票）。由于这些确定性策略可以分别被认为是p=0 p = 0或p=1 p = 1 ，因此任何对称均衡都可以由单个值p\in[0,1] p ∈ [ 0 , 1 ]完全指定。在这样的均衡中，参与者的数量取自\text{Binomial}(n,p) Binomial ( n , p ) ，其中n n是参与者的数量。

2.彩票支付规则的对称均衡

由于我们的注意力仅限于对称均衡，因此参与者的策略只有三种结果：

没有人加入（ p=0 p = 0 ），
每个人都加入（ p=1 p = 1 ），
每个人加入的概率为p\in (0,1) p ∈ ( 0 , 1 ) 。

根据支付规则，以上任何一种结果都有可能出现。本节研究彩票支付规则。

定义：彩票支付规则通过从参与者集合中均匀随机地选择一名获胜者来向单个玩家支付金额为x x的奖金。

彩票支付规则是匿名的，并根据x x的大小引入对称均衡p p 。协议设定x x的值，玩家决定是否加入，奖金全额发放给其中一名参与者。如果x<1 x < 1 ，则属于情况 (1)；没有人会加入，因为奖金低于报名费。如果x\geq n x ≥ n ，则属于情况 (2)；每个人都会参加，因为保证（预期）他们获得的报酬高于报名费。对于x x的其他值，参与者数量将是从\text{Binomial}(n,p) Binomial ( n , p )中抽取的随机变量，其中p\in (0,1) p ∈ ( 0 , 1 ) 。协议可以通过调整x x来移动平均值np n p 。

我们可以刻画上述 (3) 情形下的对称均衡，其中每个参与者混合各自的策略并以概率p p加入。（对此有很多方法；我们在此使用微分法展示一种明确的方法；另一种方法参见附注# 1 。）我们考虑参与者i i的决策，将其他参与者的策略固定为p p 。i i选择其加入概率p' p ′以最大化其预期效用，

\begin{align}U_i(p') &= \bigg[ \underbrace{\mathbb{E}\left[\frac{x}{1+Y}\right]}_{\text{预期奖金}} - \underbrace{1}_{\text{票价}}\bigg] p', \; \text{where } Y \sim \text{二项式}(n-1,p) \\&= \left[x\cdot \frac{1-(1-p)^n}{np} -1\right]p'\end{align}

Ui ( p ′ ) = [ E [ x 1 + Y ]     预期奖金− 1   票价] p ′ ,其中Y ∼二项式( n − 1 , p ) = [ x ⋅ 1 − ( 1 − p ) n n p − 1 ] p ′

换句话说，如果玩家i i加入并在参与者中赢得彩票，她将获得x x的奖励。具体而言，由于其他n-1 n − 1 位玩家均以概率p p独立加入，因此除i i之外的参与者人数将从\text{Binomial}(n-1,p) Binomial ( n − 1 , p )中抽取。i i加入的效用等于奖励金额减去彩票价格。i i加入的效用（概率p' p ′）等于她加入的效用乘以p' p ′ ，因为i i不加入的效用为 0。

对于对称策略p p ，要达到均衡， p'=p p ′ = p必须在所有p'\in[0,1] p ′ ∈ [ 0 , 1 ]中最大化该表达式。一阶条件为

\begin{align}\frac{\partial U_i}{\partial p'} = x\cdot \frac{1-(1-p)^n}{np} -1.\end{align}

[数学处理错误]

将其设置为零，我们得到x x和p p之间关系的解析解，

x\cdot \frac{1-(1-p)^n}{np} -1 = 0\implies \boxed{x = \frac{np}{1-(1-p)^n}}

x ⋅ 1 − ( 1 − p ) n n p − 1 = 0 ⟹ x = np1− ( 1 − p ) n

这告诉我们：“给定一个大小为x x的奖励，多少概率p p会达到对称均衡”或者等效地，“如果协议设计者希望参与者数量来自\text{Binomial}(n,p) Binomial ( n , p ) ，他们会设置一个大小为x x的奖励。” 下图显示了当n = 2时这些变量之间的关系。

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虚线的解释是：“如果协议设定奖金x=1.5 ，则策略p=2 / 3是对称均衡。” 另外，请注意，如果奖金<1 < 1或>2 > 2 ，则参与者加入的概率分别为 0 或 1。这些就是本节开头描述的“无人加入”和“所有人都加入”的结果。对于内部区域x \in (1,2) x ∈ ( 1 , 2 ) ，每个x x都会诱导一个唯一的p p 。

附言#1推导同一方程的另一种方法是考虑所有玩家集合的总现金流。对于给定的p p ，玩家集合预期支付np n p的入场费。因此，协议需要支付np n p的预期补偿（因为这是一个竞争均衡，任何超额价值都将被竞争抵消）。当协议选择一个奖励x x时，只要至少有一个玩家参与，玩家集合就会获得该奖励。这种情况发生的概率为1-(1-p)^n 1 − ( 1 − p ) n ，这意味着玩家集合获得x \cdot (1-(1-p)^n) x ⋅ ( 1 − ( 1 − p ) n )的奖励。

题外话#2：混合策略均衡的一个有趣特性是，玩家对任何行动都漠不关心（这也是他们一开始就随机化行为的原因）。在上面的例子中，如果其他所有人都以概率p加入，那么玩家i从任何行动中获得的效用为零。你可以通过将x代入她的效用函数来说明这一点，
\begin{align}U_i(p') &= \bigg[ x \cdot \frac{1-(1-p)^n}{np} -1\bigg] \cdot p' \\&= \bigg[\frac{np}{1-(1-p)^n}\cdot \frac{1-(1-p)^n}{np} -1\bigg] p' \\&= (1-1)p'\\&= 0.\end{align}
[数学处理错误]
另一种解释是，均衡是完全竞争的。这导致结果与由此产生的混合策略之间无差异。

2.1 考虑较大的n n

回忆这段关系

x = \frac{np}{1-(1-p)^n}。

x = np1− ( 1 − p ) n 。

关于这个方程的一个有趣的观察是，对于较大的n n ，我们可以将x x重写为\mu=np μ = n p （预期参与者人数）的函数，对于较小的x x使用(1-x) \rightarrow e^{-x} ( 1 − x ) → e − x ，如下所示

x(\mu) \approx \frac{\mu}{1-e^{-\mu}}。

x ( μ ) ≈ μ 1 − e − μ 。

协议可以使用这个简单的公式来确定期望的平均参与人数\mu μ ，而无需知道n n 。例如，如果协议希望预期只有一个参与者，则应设置1/(1-1/e)\approx 1.582 1 / ( 1 − 1 / e ) ≈ 1.582的奖金。也就是说，协议支付高于1 1入场费58 \ % 的溢价，以吸引预期一名参与者。随着n n 的增长，这个近似值会提高。下图显示了平均吸引一名参与者所需的协议奖金。它还显示了当n \to \infty n → ∞趋近于x(1)=1/(1-1/e) x ( 1 ) = 1 / ( 1 − 1 / e ) 时的极限。

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虚线可以解释为：“如果n=10 ，那么协议设计者需要设置至少x=1.535的奖励，才能预期吸引一名参与者。” 当然，协议设计者也可以选择更高的奖励，以降低无人参与的风险。下一节将正式描述这种权衡。

3. 验证者市场成本最小化

到目前为止，我们已经展示了协议如何通过改变x x来实现特定的预期参与人数\mu μ 。现在，我们来考虑那些特别厌恶低参与度的协议。我们通过引入“低参与度惩罚”来形式化这一点。在本节中，我们首先考察证明者市场。在第 4 节中，我们将探讨由工作量证明共识机制引发的另一种低参与度惩罚机制。

我们设想一个 ZK Rollup，它希望激励生成成本高昂的证明。市场设计者可能只关心至少有 1 位^证明者参与（并支付入场费，即生成证明的成本）。3 进一步假设，如果完全没有参与，协议可以自行生成证明，成本为c （你可以将 c视为“外部选项”）。这样，我们可以将低参与度惩罚写成参与者数量k的函数，如下所示

\begin{align}\text{低参与惩罚}(k) =\begin{cases}c & \text{if } k = 0 \\0 &\text{otherwise}.\end{cases}\end{align}

[数学处理错误]

自然，协议设计者希望选择最小化其总成本（奖金数额加上任何罚款）的支付规则。

3.1. 针对至少一名参与者进行优化

上述分析允许协议设计者在x x和p p之间关系所导致的对称均衡下，选择奖励的幅度，以达到一定程度的参与。在低参与惩罚下，协议的成本函数（我们将其表示为C_p C p ）为

C_p = c \cdot \Pr[\text{不参与}] + x \cdot \Pr[\text{参与}].

C p = c ⋅ Pr [不参与] + x ⋅ Pr [参与] 。

协议力求最小化这一成本，并且在给定c c 的情况下选择x x时，协议面临着权衡。x x的值过低，协议很可能会遭受c c 的惩罚； x x的值过高，则协议的成本会直接增加，因为协议必须支付更大的奖励。基于对称均衡中每个参与者参与概率p p的事实，我们可以得出：

C_p = c \cdot (1-p)^n + x \cdot (1-(1-p)^n)。

Cp = c⋅ （ 1 − p ） n + x⋅ （ 1− （ 1 − p ） n ）。

其中x = \frac{np}{1-(1-p)^n} x = n p 1 − ( 1 − p ) n （我们上面推导的关系），这简化为

C_p = c \cdot (1-p)^n + np。

Cp = c⋅ （ 1 − p ） n + np 。

这就是协议成本，它试图在p \in [0,1] p ∈ [ 0 , 1 ]上最小化它。利用最优概率p^* p ∗ ，协议可以直接计算出在p^* p ∗处达到对称均衡所需的奖励大小。我们使用一阶条件最小化协议成本，

\begin{align}\frac{\partial C_p}{\partial p} &= -cn(1-p)^{n-1} + n =0 \\&\implies p^* = 1-c^{-\frac{1}{n-1}}\end{align}

[数学处理错误]

二阶导数在p \in [0,1] p ∈ [ 0 , 1 ]上始终为负，因此p^* p ∗确实是协议成本的唯一局部最小值。下图显示了协议成本作为x x的函数（它与p\in(0,1) p ∈ ( 0 , 1 )存在双射），其中n = 2和c=1.5,2,2.5 c = 1.5 , 2 , 2.5分别成立。

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x^* x ∗ 的值（在图中以点表示）在c c中不断增加，因为协议面临更高的不参与惩罚，因此它选择更高的x^* x ∗ （这会导致更高的p^* p ∗ ），以确保至少有一名玩家参与。根据p^* p ∗ ，我们以闭式计算出最优奖励额：

\begin{align}x^* &= \frac{np^*}{1-(1-p^*)^n} \\&= \frac{n(1-c^{-1/(n-1)})}{1-c^{-n/(n-1)}}\end{align}

[数学处理错误]

我们还计算了最佳协议成本

\begin{align}C_p^* &= c \cdot (1-p^*)^n + np^* \\&= n-(n-1) c^{-1/(n-1)}\end{align}

[数学处理错误]

下图有助于将该成本可视化为n, c的函数。

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我们发现，随着低参与度惩罚的增加，协议成本似乎呈对数增长。下一节将通过观察协议成本的渐近行为来形式化这种关系。

3.2 渐近线

一个自然而然的问题是，p^*、x^*、C_p^* p ∗ 、 x ∗ 、 C ∗ p的值如何作为c c的函数进行缩放。具体来说，协议设计者可能想知道，假设游戏中有大量玩家n ，它们的效用如何作为c c的函数进行缩放。展开（推导见脚注⁴ ），我们得到

\begin{align}p^* &= \frac{\ln c}{n-1} + O\left(\frac{(\ln c)^2}{n^2}\right).\end{align}

[数学处理错误]

类似地，我们可以检查x^* x ∗的渐近行为（推导见脚注⁵ ），这是成本最小化协议的最佳奖励：

\begin{align}x^* = \frac{\ln c}{1 - 1/c} + O\left(\frac{(\ln c)^2}{n}\right).\end{align}

[数学处理错误]

最后，我们考察协议支付的最优成本C_p^* C ∗ p的渐近行为（推导见脚注⁶ ）：

\begin{align}C_p^* &=1 + \ln c + O\left(\frac{(\ln c)^2}{n}\right).\end{align}

[数学处理错误]

至关重要的是，我们看到，当n\to\infty n → ∞时，协议的总成本按1+ \ln c 1 + ln进行缩放c 。这对于协议来说非常棒，因为它提供了成本与外部选项函数的对数界限。此外，最优成本与n无关。这在无需许可的环境中非常实用，因为协议可以仅根据外部选项的质量（即低参与度惩罚）来设定最优奖励，而无需知道有多少玩家！这也意味着即使游戏中的玩家数量非常庞大，协议也可以确保他们的成本是有限的^。7

下一节将回答这个问题：“我们能突破这个对数界限吗？”更正式地说，是否存在一个匿名支付规则，使得由此产生的对称均衡具有协议成本C_p < 1+\ln c C p < 1 + ln c ？下一节我们会证明答案是否定的！协议成本严格受限于1+\ln c 1 + ln角

3.3 1+\ln c 1 + ln c边界很紧

Note for the math/formalism-averse crowd: this section can be safely skipped!

我们知道在对称均衡中每个参与者加入的概率为p p 。我们需要将1.2 节中概述的匿名属性形式化，以便将我们的机制与其他匿名支付规则进行比较。支付规则\pi(S,r) π ( S , r )将加入的参与者集合S\subseteq [n] S ⊆ [ n ]和随机种子r r作为输入，并向每个参与者输出支付。如果S S非空，上一节中的机制将以概率1/|S| 1 / | S |向随机参与者支付彩票奖金x x ，否则不支付任何人。如果机制\pi(S,r) π ( S , r )相对于代理人的行为逐点对称，我们称其为（事后）匿名的。形式上，如果对于所有r r和S S以及所有排列\ sigma σ ， \pi(S,r)=\pi(\sigma(S),r) π ( S , r ) = π ( σ ( S ) , r ) ，则\ pi π是事后匿名的。当一个机制是匿名的时，我们可以将其支付规则重写为\pi(S,r)=\pi(k,r) π ( S , r ) = π ( k , r ) ，其中k=|S| k = | S | ，并且取自\text{Binom}(n,p) Binom ( n , p ) 。现在我们只关心参与者的数量，而不是特定的集合。

设\pi(k,r) π ( k , r )为一个具有对称均衡p p的匿名机制。那么，拍卖商的预期成本为

C_p = \underbrace{c \cdot (1-p)^n}_{\text{无参与}} + \underbrace{\mathbb{E}_{k,r}[\pi(k,r)]}_{\text{参与}}。

C p = c ⋅ ( 1 − p ) n     无参与+ E k , r [ π ( k , r ) ]    参与。

这个期望值代入随机性实现r r和每个可能的参与者数量k k 。在期望值中，我们知道k k 个参与者中的每一个都必须是理性的才能参与抽奖。总的来说，任何协议的期望值都必须至少支付每个参与者的入场费。形式上， \mathbb{E}_{k,r}[\pi(k,r)] \geq np. E k , r [ π ( k , r ) ] ≥ n p 。代入这个期望值，我们再次得到如下形式：

C_p \geq c \cdot (1-p)^n + np。

Cp≥c⋅ （ 1 − p ） n + np 。

在等式成立的情况下，这正是彩票机制的协议成本。因此，它具有相同的最优协议成本C_p^* = n-(n-1) c^{-1/(n-1)} C ∗ p = n − ( n − 1 ) c − 1 / ( n − 1 )和渐近行为1+\ln c 1 + ln c当n \to \infty n → ∞时适用。在匿名和个体理性机制中，抽签机制在最小化“至少一名玩家”目标方面是最优的！

4. 工作量证明目标函数

在上一节中，仅当没有参与时，协议才会产生成本c c ，对应于参与者数量k k的阶跃函数，

\begin{align}\text{低参与惩罚}(k) =\begin{cases}c & \text{if } k = 0 \\0 &\text{otherwise}.\end{cases}\end{align}

低参与惩罚（ k ） = { c如果k = 0 0否则。

这个成本函数对于证明者市场的例子来说是合理的，因为在这个例子中，单个参与者是必要的，因为只需一个证明就能满足协议的要求。在其他区块链环境中，不同的低参与惩罚（或一般参与评估函数）