0. TL;DR
我們介紹並詳細介紹了 FM-AMM 的附加功能，如 [CF23] 中所述。我們在 FM-AMM 上模擬了 CEX-DEX 套利者之間的套利利潤博弈，然後通過尋找純策略納什均衡來解決這個問題。最後，我們在理論設置下計算了 FM-AMM 的漸近 LVR，並通過數值模擬將其性能與 Uniswap V2 風格的固定費率費用 CPMM 進行了比較。我們的觀察表明，性能在很大程度上受到價格波動、交易成本和流動性池規模的影響，在特定條件下，FM-AMM 對套利者的損失較小。
1. 簡介
自從 [MMRZ22] 和 [MMR23] 中引入 LVR 以來，它迅速成為衡量 AMM 性能的標準。已經進行了許多嘗試通過動態費用政策來降低 LVR，並且這項研究仍在繼續。然而，除了 [CF23] 和 [GGMR22] 之外，批量交易執行並沒有受到太多關注。在 [CF23] 中，作者提出了一種功能最大化的自動做市商 (FM-AMM)，聲稱它有效地消除了 LVR，並提供了數值模擬，將其性能與各種 Uniswap V3 池進行比較。他們後來聲稱CoW-AMM（他們對 FM-AMM 的實現）在實時環境中也表現良好，這引發了推特上關於其測量方法合法性的爭論。雖然爭論更多地集中在 markout 是否是衡量性能的有用指標，但零售訂單流的存在和波動的交易成本也是準確比較它們性能的障礙。在本文中，我們分析了 FM-AMM 的性能，並在固定交易成本和沒有零售訂單流條件（如 [N22] 和 [E24] 中的情況）的情況下將其與 CPMM 進行了比較。
具體來說，我們稍微修改了他們的設計，並在一個博弈中找到了納什均衡，在這個博弈中，套利者策略性地向（略作修改的）FM-AMM 提交訂單以最大化他們的回報。這個博弈類似於 [MC24] 中介紹的流動性提供博弈，它是廣義 Tullock 競賽的一種特殊形式。由此產生的均衡具有許多有利的性質：解始終唯一存在，並且是對稱的。此外，LVR 與參與者數量成反比衰減。該模型假設套利者的數量N N是預先確定的，交易成本c c為零。我們繼續討論一個模型，其中參與者的數量根據c c內生確定。在這種情況下，FM-AMM 並不總是更勝一籌；結果現在取決於跳躍大小、頻率和成本。我們提供了數值模擬結果，並表明 FM-AMM 非常適合基於彙總的解決方案。
2. FM-AMM
在本節中，我們補充了 [CF23] 中引入的 FM-AMM 的省略細節，以處理更一般的情況。[CF23] 中引入的底層 AMM 曲線是：
y_\text{輸出} = \frac{x_\text{輸入}}{X + 2x_\text{輸入}}Y，
y輸出= x輸入X + 2 x輸入是的，
其中x_\text{in} x in是交易者願意出售的代幣X X的數量， y_\text{in} y in是她將收到的代幣Y Y的數量。然而，這是最簡單的情況，即批量中只提交單方訂單。原始論文的作者處理這種情況時，假設用戶只指定要買入或賣出的代幣 X 的數量，這樣訂單的雙方都存在於同一批中。不幸的是，這很難以完全鏈上的方式實現，因為在批次結算之前，無法保證交易者是否有足夠的資金來購買指定數量的代幣 X（賣出沒有問題；我們可以從交易者那裡提取代幣並在結算時保留它）。我們將公式推廣到處理更廣泛的情況。假設X, Y為池子的儲備， T為批量結算前 LP 代幣的總供應量， x_\text{in}, y_\text{in} x in , y in 為交易者願意出售的每種代幣的總數量， x_\text{mint}, y_\text{mint} x mint , y mint為 LP 提供的每種代幣的總數量。我們將從以下基本方程式開始：
\begin{align}\begin{bmatrix}x_{\text{mint}} \\y_{\text{mint}}\end{bmatrix}&=x_{\text{mint}} \begin{bmatrix}1 \\p\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\2\alpha\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x_{\text{in}} \\y_{\text{in}}\end{bmatrix}&=x_{\text{in}} \begin{bmatrix}1 \\p\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\\beta\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x_1 \\y_1\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}x_0 \cdot \frac{y_0 + \alpha + \beta}{y_0 + 2(\alpha + \beta)} \\y_0 + \alpha + \beta\end{bmatrix}\end{align}
[ x薄荷薄荷 ] = x薄荷[ 1頁] + [ 0 2 α ] [ x在是 ] = x在[ 1頁] + [ 0 β ] [ x 1是1 ] = [ x 0 ⋅ y 0 + α + β y 0 + 2 ( α + β ) y0 + α + β ]
這裡， p p是清算價格， \alpha, \beta α , β分別是交換和鑄造的淨交換量。簡而言之，在提交的訂單中，我們只交換其中的一部分， \alpha α和\beta β ，然後通過 p2p 交換剩餘部分，而不改變現貨價格。
\begin{bmatrix}x_{\text{mint}} \\y_{\text{mint}} - 2\alpha\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}x_{\text{in}} \\y_{\text{in}} - \beta\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}x_1 \\y_1\end{bmatrix}
[ x薄荷y薄荷− 2 α ] , [ x在y在− β ] , [ x 1是1 ]
全部平行，則得出以下矩陣方程：
\begin{equation}\begin{bmatrix}2x_0 + 2x_{\text{mint}} & 2x_{\text{mint}} \\2x_{\text{in}} & 2x_{\text{in}} + x_0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha \\\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_0 y_{\text{mint}} - x_{\text{mint}} y_0 \\x_0 y_{\text{in}} - x_{\text{in}} y_0\end{bmatrix}\end{equation}
[ 2 x 0 + 2 x薄荷2顆薄荷2 x英寸2 x在+ x 0 ] [ α β ] = [ x 0 y薄荷− x薄荷y 0 x 0 y座標− x座標y 0座標]
請注意，LHS 中矩陣的行列式始終嚴格為正，因此上述方程不是奇異的。 \alpha, \beta α , β分別為：
\begin{align} (\alpha, \beta) = \left( \frac{\frac{x_{0} y_{mint}}{2} + x_{in} y_{mint} - \frac{x_{mint} y_{0}}{2} - x_{mint} y_{in}}{x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint}}, \ \frac{x_{0} y_{in} - x_{in} y_{0} - x_{in} y_{mint} + x_{mint} y_{in}}{x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint}}\right) \end{align}
（ α ， β ） = （ x0ymint2 + x i n y m i n t − x m i n t y 0 2 − x m i n t y i n x 0 + 2 x i n + x m i n t ， x 0 y i n − x i n y 0 − x i n y m i n t + x m i n t y i n x 0 + 2 x i n + x m i n t ）
清算價格p_c p c為：
\begin{align}p_c = \frac{y_{0} + 2 y_{in} + y_{mint}}{x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint}}\end{align}
p c = y 0 + 2 y i n + y m i n t x 0 + 2 x i n + x m i n t
x_\text{out}, y_\text{out} x out , y out分別為：
\begin{align}(x_\text{out}, y_\text{out}) &=\left( \frac{y_{in} \left(x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint}\right)}{y_{0} + 2 y_{in} + y_{mint}}, \ \frac{x_{in} \left(y_{0} + 2 y_{in} + y_{mint}\right)}{x_{0} + 2 x_{in} + x_{mint}}\right) \\&= \left(\frac{y_\text{in}}{p_c}, p_c x_\text{in} \right) \\\end{align}
（ x輸出， y輸出） = （ y i n （ x 0 + 2 x i n + x m i n t ） y 0 + 2 y i n + y m i n t ， x∈ （ y 0 + 2y∈ + ymint ） x 0 + 2x∈ + xmint ） = （ y在p c ， p c x在）
很容易就能找到x_2, y_2（鑄造LP代幣後的儲備量）和t （新發行的 LP 代幣數量），因此我們在這裡跳過它們。
以上建設不收取任何費用。為了在收取費用後價格保持不變，我們將投入的1/(1 + \gamma) 1 / ( 1 + γ )部分和產出的\gamma γ部分作為費用。因此有效費率為\frac{2 \gamma}{1+ \gamma} 2 γ 1 + γ ，約為2 \gamma 2 γ 。考慮到套利者，最好還是在投入上收取全額費用。
3. 模型
在本節中，我們將描述我們分析所基於的模型。我們模擬了一個涉及戰略套利者的正常形式博弈。這意味著每個玩家都不知道其他人的出價，並且所有出價都是同時提交的。此外，每個玩家的出價都不會受到審查。雖然這一假設並不能完美地反映區塊鏈的現狀，但正在進行的加密發展和改進的市場設計（如納入名單）將有助於彌合理論與現實之間的差距。這個公式與 [CM24] 的公式幾乎相同；唯一的區別是，玩家現在“拿走”錯誤定價的流動性，而不是將其提供給 AMM。
3.1. 自動化做市商
對於 AMM，我們將使用第 2 節中介紹的 FM-AMM。注意，AMM 本身並不是玩家；我們假設 AMM 的 LP 是被動投資者，短期內不會採取任何行動。
3.2. 套利者
我們假設所有參與者都是同質的。他們風險中性，可以在 CEX 上執行任何規模、任何方向的交易，而不會出現任何滑點。他們的唯一目標是實現利潤最大化。
3.3. 流動性吸納的戰略博弈
首先，我們解決有N N個參與者的遊戲，其中N N是外生給定的，不考慮交易成本。然後，我們引入嚴格為正的交易成本c c並從均衡條件中得出N N 。我們將興趣限制在交易費為正的條件下，這保證了均衡的唯一性。參與者觀察池子儲備X X 、 Y Y和外部真實價格P P 。然後，他們提交出價(x_i, y_i) ( x i , y i ) ，即要賣給池子的代幣數量。清算價格將是：
\begin{align}P_c = \frac{Y + 2\sum^N_{i=1} y_i }{X + 2\sum^N_{i=1} x_i} \tag{1} \\\end{align}
Pc = Y + 2∑Ni = 1yiX + 2∑Ni = 1xi （1）
效用函數是扣除掉期費（以及交易成本，如果適用）後的套利利潤。玩家i i的效用U_i U i為：
\begin{align}R_i = -(1 + \gamma)(P x_i + y_i) + (1 - \gamma)\left(\frac{P}{P_c}y_i + P_c x_i\right) \tag{2}\end{align}
R我= − （ 1 + γ ） （ P x我+ y我） + （ 1 − γ ） （ P P c yi + Pcxi ) （2）
現在，我們準備尋找平衡點。
4.均衡分析
4.1 N N是外生決定的，且交易成本c c為零
我們首先引入以下引理：
\text{引理。玩家 } i \text{ 的最佳回應是提交至少有一個 0 分量的出價，即 } (x_i, 0) \text{ 或 } (0, y_i)。
引理。玩家i的最佳響應是提交至少有一個 0 分量的出價，即( x i , 0 )或( 0 , y i ) 。
證明很簡單。假設(x_i, y_i) ( x i , y i )和(x'_i, y'_i) ( x ′ i , y ′ i )產生相同的清算價格。然後，當且僅當y_i \ leq y'_i y i ≤ y ′ i時，x_i \leq x'_i x i ≤ x ′ i 。將它們組合起來並從其中一箇中減去另一個的效用即可得到所需的結果。
同時，一階條件和盈利條件告訴我們，當P_{-i} P − i定義為P_{-i} = \frac{Y + 2\sum^N_{j \neq i} y_j }{X + 2\sum^N_{j \neq i} x_j} P − i = Y + 2 ∑ N j ≠ i y j X + 2 ∑ N j ≠ i x j時，最佳響應是，提交x_i x i或y_i y i使得以下成立：
\begin{align}P_c =\begin{cases}\sqrt{\frac{1 - \gamma}{1 + \gamma} P P_{-i}} & \text{if } \frac{1 - \gamma}{1 + \gamma} P \geq P_{-i} \\\sqrt{\frac{1 + \gamma}{1 - \gamma} P P_{-i}} & \text{if } \frac{1 + \gamma}{1 - \gamma} P \leq P_{-i}\end{cases}。 \tag{3}\end{align}
P c = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ √ 1 − γ 1 + γ PP −我如果1 − γ 1 + γ P≥P − i √ 1 + γ 1 − γ PP −我如果1 + γ 1 − γ P≤P − i 。 （3）
否則，最好不要提交任何訂單（即出價）。可以考慮\frac{1+\gamma}{1-\gamma}P_{-i} 1 + γ 1 − γ P − i和\frac{1-\gamma}{1+ \gamma}P_{-i} 1 − γ 1 + γ P − i為使套利變得有利可圖的閾值價格。請注意，這對每個i i都成立，因此對於每個i i和j j ， P_{-i} = P_{-j} P − i = P − j ，這告訴我們均衡是對稱的並且始終存在。
從現在開始，我們只考慮外部價格足夠高於礦池的現貨價格Y/X Y / X 。相反的情況可以用類似的方式解決。很明顯，對於我們處理的情況， x_\text{eq} = 0 x eq = 0。那麼， (3) ( 3 )等同於：
\begin{align}\frac{Y + 2Ny_\text{eq}}{X} = \sqrt{\frac{1-\gamma}{1+\gamma}P\cdot \frac{Y + 2 (N-1) y_\text{eq}}{X}} \tag{4}\end{align}
Y + 2 N y當量X = √ 1 − γ 1 + γ P⋅Y + 2 （ N − 1 ） y當量X （4）
求解（4） （ 4 ）可得
\begin{align}y_\text{eq} = \frac{1}{4N^2}\left[ (N - 1) \cdot \frac{1-\gamma}{1+\gamma} \cdot PX -2NY + \sqrt{(N-1)^2 + 4N \cdot \frac{Y}{X} \cdot \frac{1+\gamma}{1-\gamma} \cdot \frac{1}{P}} \cdot \frac{1-\gamma}{1+\gamma}\cdot PX \right] \tag{5}\end{align}
y當量= 1 4 N 2 [ ( N − 1 ) ⋅ 1 − γ 1 + γ ⋅ P X − 2 N Y + √ ( N − 1 ) 2 + 4 N ⋅ Y X ⋅ 1 + γ 1 − γ ⋅ 1頁⋅ 1 − γ 1 + γ ⋅ PX ] （5）
從現在開始，我們將繼續使用激進近似，因為它很複雜。雖然我們沒有提供任何嚴格的證據來證明這種近似的有效性，但我們會在後面的模擬中看到它的效果很好。設P_0 = \frac{Y}{X} P 0 = Y X且\varepsilon = \frac{1-\gamma}{1+\gamma} \cdot \frac{P}{P_0} - 1 ε = 1 − γ 1 + γ ⋅ PP 0 − 1 ，即閾值價格與外部價格之間的價格差。通過泰勒級數近似y_\text{eq} y eq和\varepsilon ε可以得到一個更簡單的形式：
\begin{align}y_\text{eq} &= \frac{Y}{4N^2}\left[ (N-1) \cdot (1+ \varepsilon) - 2N +(1+\varepsilon)\sqrt{(N-1)^2 +\frac{4N}{1+\varepsilon}}\right] \tag{6} \\&\approx \frac{Y}{2(N+1)} \varepsilon + o(\varepsilon^2) \tag{7}\end{align}
等式= Y4N2 [ ( N − 1 ) ⋅ ( 1 + ε ) − 2 N + ( 1 + ε ) √ ( N − 1 ) 2 + 4 N 1 + ε ] ≈Y2 （ N + 1 ）ε + o ( ε 2 ) （6） （7）
利用（7） （ 7 ） ，可以計算出個體套利者的利潤以及 AMM 對套利者的總損失：
\begin{align}ARB &\approx L\sqrt{P_0}\cdot\left(\frac{1+\gamma}{2(N+1)^2}\right)\cdot\varepsilon^2 \tag{8} \\LVR &\approx (1+\gamma)\cdot L\sqrt{P_0}\cdot\left(\frac{N}{2(N+1)^2}\right)\cdot\varepsilon^2 \tag{9}\end{align}
受體阻滯劑≈ L √ P 0 ⋅ ( 1 + γ 2 ( N + 1 ) 2 ) ⋅ε2左心室 ≈ ( 1 + γ ) ⋅ L √ P 0 ⋅ ( N 2 ( N + 1 ) 2 ) ⋅ε2 （8） （9）
因此，假設交易成本為0 0 ，對於任何N N ，每個N N套利者都會提交相同的出價，他們將平等分享利潤，而每個套利者的利潤將衰減O(N^{-2}) O ( N − 2 ) 。此外，隨著N N趨於無窮大，清算價格P_c P c收斂到閾值價格，因此價格差異的平穩分佈將與 [MMR23] 中的固定費率 CPMM 相同。
4.2 交易成本並非免費，套利者數量內生決定
現在，我們通過採用非零交易成本c c ，將 4.1 中的模型擴展為更現實的模型。效用函數與(2) ( 2 )中的相同，只是我們有一個附加項-c − c 。由於這一項在我們取導數時消失，因此只要有利可圖，最佳反應就保持不變。因此，解決方案與(7) ( 7 )沒有太大區別，只是N N被替換為N^{*} N ∗ ，其中N^{*} N ∗是滿足L\sqrt{P_0}\cdot\left(\frac{1+\gamma}{2(N^{*}+1)^2}\right)\cdot\varepsilon^2 \geq c L √ P 0 ⋅ ( 1 + γ 2 ( N ∗ + 1 ) 2 ) ⋅ ε 2 ≥ c 。則 LVR 將為：
\begin{align}LVR &\approx (1+\gamma) \cdot L \sqrt{P_0} \cdot\varepsilon^2 \cdot \frac{N^{*}}{2(N^{*}+1)^2} \tag{10} \\&\approx cN^{*} \tag{11} \\&\approx c \left \lfloor \varepsilon\sqrt{\frac{1+\gamma}{2c} \cdot L \sqrt{P_0}}- 1 \right\rfloor \tag{12} \\&\leq \varepsilon\sqrt{(1+\gamma)2c \cdot L \sqrt{P_0}} \tag{13}\end{align}
左心室 ≈ ( 1 + γ ) ⋅ L √ P 0 ⋅ ε 2 ⋅ N ＊ 2 ( N ＊ + 1 ) < 
