區塊鏈機制數學、術語和象形文字簡介，適合那些在與同行討論白皮書時想要顯得聰明的休閒人士

亞歷克斯·瓦茨等人

摘要：從事 DeFi 工作的機制設計師非常喜歡寫白皮書。他們非常喜歡它。也許太多了。他們也喜歡用一種古老的、基於象形文字的語言來寫這些論文，而這種語言對於一個正常的、適應社會的人來說很難解讀。這是不幸的，因為一旦你理解了他們的外星術語，大多數數學和博弈論實際上是相當簡單的。在本文中，我將為您提供與同行討論這些白皮書時所需的工具，讓您聽起來很聰明，這是一項非常重要的技能，因為您的同行很可能也在努力讓自己聽起來很聰明。

讓我們從這一部分開始—「摘要」。本節其實只是白皮書的摘要。在本節中，機制設計師將總結一個問題，然後他們將總結他們的解決方案，然後 - 如果他們做得好 - 他們還將總結論文的缺點。我們可能永遠不知道為什麼機制設計師喜歡將這一部分稱為“抽象”而不是“摘要” - 事實上，我們可能永遠不會知道他們為什麼要做他們所做的大部分事情。但透過閱讀本文，希望您能夠更好地理解他們在做什麼——如果您對這種事情感興趣，那麼您可以了解他們是為誰做的。

直觀上看，這篇論文沒有任何缺點。但如果我只能選一個，那就是這篇論文中的許多資訊都是故意錯誤的。非常錯誤。我對這些解釋的許多解釋都還很遙遠。但我並不是拜占庭式的——順便說一句，拜占庭式的意思是“不誠實”或“敵對”，兩千多年前，這可能會被人力資源部門標記為對拜占庭帝國公民的種族攻擊。所以，是的，我並不是拜占庭式的——我只是過度簡化了事情，以使概念在預期中更容易理解。

套

集合是一組事物。

順便說一句，如果您讀完最後一句話後的第一個想法是“這個定義遺漏了很多！” 」 然後請注意：從這裡開始一切都是下坡路。

• 場景很重要，因為機制設計師喜歡讓整個群體的人或事物接受他們邪惡的設計。
• 集合以大寫字母表示（例如X X或Y Y ）。
• 定義集合時，它們通常用括號括起來。例如，一組三個數字可以寫成X = \{1,2,3\} X = { 1 , 2 , 3 } 。
• 此集合的成員以小寫字母表示（例如x x或y y ）。

這些機制設計師喜歡在他們的白皮書中使用一些看起來很有趣的符號，您可能應該學習這些符號：

• \in ε表示“in”，用於顯示集合中的成員資格
  – 當你看到x ∈ X x ∈ X時，這表示x x是集合X X的成員。
  – 例：若X = \ { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20\} X = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 } ，則x ∈ X x ∈ X表示x x是這 10 個值之一。

• \cup ∪ 的意思是“聯合”，意味著將兩個集合並將其所有成員組合在一起（刪除重複項）。
  – 當您看到X ∪ Y X ∪ Y時，這表示您正在組合X X和Y Y集。
  – 例：若X = \{1, 2, 3, 4\} X = { 1 , 2 , 3 , 4 } ，且Y = \{3, 4, 5\} Y = { 3 , 4 , 5 }則X ∪ Y = \{1,2,3,4,5\} X ∪ Y = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 。

• \cap ∩ 的意思是“交集”，意味著取兩個集合並僅從它們的共同成員中創建一個新集合。
  – 當您看到X ∩ Y X ∩ Y時，這表示您正在取集合 X 和 Y 的交集。
  – 例：若X = \{1, 2, 3, 4\} X = { 1 , 2 , 3 , 4 } ，且Y = \{3, 4, 5\} Y = { 3 , 4 , 5 }則X ∩ Y = \{3,4\} X ∩ Y = { 3 , 4 } 。

• \subset ⊂表示「子集」 - 第一個集合的所有元素都存在於第二個集合中。

• \supset ⊃表示「超集合」－第二個集合的所有元素都存在於第一個集合中。請注意，如果您看到這一點，那麼您正在處理一個特別麻煩的 Mechanism Designer 品牌，您應該警惕更多的詭計。

• : : （冒號）通常表示“如果”，並且經常與看起來有趣的顛倒的 A 一起出現。

• \forall ∀ 的意思是“對於所有人”，旨在迭代一組集合，通常是在創建另一個集合時。
  –如果您是程式設計師，每當您看到\forall ∀時，都會想到「for 迴圈」。
  – 通常\forall ∀和: :用於迭代一組集合以建立新的集合。
  –範例：考慮這個可怕的表達式： Y = \{2x, \ \forall x\in X : x>3 \} Y = { 2 x , ∀ x ∈ X : x > 3 } 。英文翻譯的意思是“ Y Y是一組數字，是通過取X X中大於3 3的每個x x ，然後將該x x乘以2 2而創建的。”為了後代的緣故，如果X = \{1, 2, 3, 4, 5 \} X = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }則可以得出（又稱\Rightarrow ⇒ ，我們稍後將討論) Y = \{8, 10 \} Y = { 8 , 10 } 。

• 警告：在定義集合時，機制設計師非常喜歡移動變數或完全刪除它們。他們這樣做不是為了讓你感到困惑，而是為了讓彼此感到困惑——大概是為了增加他們的工作保障。例如， Y = \{2x, \ \forall x\in X : x>3 \} Y = { 2 x , ∀ x ∈ X : x > 3 } 。這與Y = \{2 \cdot x\in X : x>3 \} Y = { 2 ⋅ x ∈ X : x > 3 }或Y = \{z \in \{2x, \forall x\in X \} : z>6 \} Y = { z ∈ { 2 x , ∀ x ∈ X } : z > 6 } 。請注意任何使用線性代數來定義集合的人（尋找括號、集合乘以集合或括號中稱為「元組」的多個事物的集合）。它們是機制設計者中最難理解的種類之一，除了最熟練的設計者之外，所有人都應該避免使用它們。事實上，如果他們中的一個人現在正在閱讀這篇文章，那麼他們可能正在做白日夢來糾正作者——可能使用了諸如“向量”或“標量”之類的虛構單詞。

• \mathbf{card}(X) c a r d ( X )或|X| | X |是集合X X的「基數」。這是「 X X中事物的數量」的一種奇特說法。若X = \{ 1, 17, 31, 5\} X = { 1 , 17 , 31 , 5 }則|X| = \mathbf{卡片}(X) = 4 | X | = c a r d ( X ) = 4 。請記住|X| | X |是X X的大小，而|x| | x |是x 的絕對值 \in X x ∈ X ；保持警惕，並記住，只有你讓機制設計者獲勝，他們才會獲勝。

您應該了解一些著名的套裝，因為機制設計師非常喜歡讓您知道他們也了解它們：

• \mathbb{Z} Z是所有整數的集合。
• \mathbb{R} R是所有實數的集合。
• \mathbb{E} E根本不是一組數字 - 它的意思是「的期望」並且用於機率。但它看起來與這些奇特的套裝很相似，所以要小心不要混淆。他們就是這樣得到你的。
• \mathbb{C} C是無盡痛苦的集合。如果你看到它，就跑。

機制設計師在定義新集合時通常會使用這些奇特的集合。例如，他們可能會說X \subset \mathbb{Z} X ⊂ Z ，這意味著X X是\mathbb{Z} Z的子集，這意味著X X中所有可能的x x都必須是整數。如果您想知道“為什麼機制設計者不直接說該集合僅由整數組成？”答案是因為他們討厭你。

隨機性和機率性

機制設計師根本無法滿足的兩件事是直覺和期望。

「直覺上…」或「直覺是…」意味著機制設計師將要告訴你一些他們認為非常明顯的事情，他們不會解釋它，因為只有白痴才會不同意。不幸的是，對於所有人P P集合中的機制設計者i i來說，白痴集合M = \{ p, \forall p \in P : p \not = i \} M = { p , ∀ p ∈ P : p ≠ i } ，用英文來說，意思是「白痴集合中所有不是機制設計者的人」 。如果你想了解機制設計師的直覺，最好的機會是他們文化中的傳統方法，即在用燧發槍決鬥擊敗他們後尋求解釋。憑直覺，你應該一定要快點問。

「期望是…」或「…在期望中」。意味著機制設計師將要做一些數學運算，我們可以預期數學運算將涉及機率。大概。

• P(y) P ( y )是事件 y 發生的機率。範例：對於拋硬幣， P(\text{heads}) = 0.50 P ( Heads ) = 0.50

• P(y \cap z) P ( y ∩ z )是事件y y和事件z z都發生的機率。這也縮寫為P(y, z) P ( y , z ) 。

• P(y \cup z) P ( y ∪ z )是事件y y或事件z z發生的機率。

• P(y | z) = P ( y | z ) =如果我們假設事件z z已經發生，則事件y y發生的機率。例如，假設有一次拋硬幣，但這次有一個作弊者使用加權硬幣，可以將賠率從 50-50 更改為 80-20。在這種情況下， P(\text{正面下注} | \text{作弊者押注正面} | \text{作弊者翻轉}) = 0.80 P (正面|作弊者押注正面|作弊者翻轉) = 0.80且P(\text{正面} | \text{作弊者押注於反面} | \text{作弊者的翻轉}) = 0.20 P (正面|作弊者押於反面|作弊者的翻轉) = 0.20 。

• \mathbb{E}[X] = E [ X ] = X 的預期（或機率，如果你想聽起來很聰明，但實際上是錯誤的）值。你得到0 美元尾部為 $1，正面為 $1，則\mathbb{E}[\text{game}] E [ game ] = $0.50。注意，如果我們想將遊戲的結果視為一個集合，則{E}[X] = \{ {E}[\text{heads}], \ {E}[\text{tails}]\} = \{ \$0, \$1 \} E [ X ] = { E [頭] , E [ tails ] } = { $ 0 , $ 1 } ，且\mathbb{E}[X] E [ X ]只是X X中可能結果的期望值（也稱為「期望」）的平均值。

• \mathbb{E}[X|y] = E [ X | y ] =如果我們假設y y發生，則X X的期望值。例如，如果有一個拋硬幣的遊戲，如果反面朝上，您將獲得0 美元，正面朝上您將獲得1 美元，但有一個作弊者使用加權硬幣，可以將賠率從50-50 更改為80 -20（對您不利），那麼\mathbb{E}[\text{遊戲} | \text{騙子的翻轉}] E [遊戲|騙子的翻轉] = 0.20 美元。
  –現在想像一下，作弊者有時會擲硬幣，而你則在其餘時間擲硬幣：
  \mathbb{E}[\text{遊戲}] = \left( \mathbb{E}[\text{遊戲} | \text{作弊者的翻轉}] \times P(\text{作弊者的翻轉}) \right) \ + \ \left( \mathbb{E}[\text{遊戲} | \text{你的翻牌}] \times P(\text{你的翻牌}) \right) E [遊戲] = ( E [遊戲|作弊者的翻牌] × P （作弊者的翻轉） ） + ( E [遊戲|你的翻牌] × P (你的翻牌) )

• \mathbb{P}(x) P ( x )只是P(x) P ( x )的一種奇特說法。一些機制設計者堅持認為，如果P(x) P ( x )是x x的機率， \mathbb{P}(x) P ( x )就是期望中x x的機率，但沒有人知道這意味著什麼，所以我們只是忽略它們並繼續我們的生活。

花式數學

Σ（總和）

這個西格瑪可能是大學期間兄弟會或姐妹會身份的關鍵部分，但它還有另一個不太重要的用例：數學。

\sum^n_{x=1}f(x) = Σ n x = 1 f ( x ) =從1 1到n n的所有x x值的f(x) f ( x ) 總和。

換句話說，它是一個“for 迴圈”，對f(x) f ( x )的不同值求和，其中 x 的範圍在 1（底部）和n n （頂部）之間。

數學範例：

\sum^4_{x=1}2x = 2+4+6+8 = 20 Σ 4 x = 1 2 x = 2 + 4 + 6 + 8 = 20

請注意，您可以用集合替換\sum Σ的範圍符號。若X = \{1, 2, 3, 4 \} X = { 1 , 2 , 3 , 4 }則

\sum_{x \in X} 2x \ = \ 2 + 4 + 6 + 8 \ = \ 20 \ = \ 2\sum_{ X} Σ x ∈ X 2 x = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 2 Σ X

機制設計者非常喜歡討論x x應該從 1 還是 0 開始，雖然沒有人知道為什麼。權威專家推測這是它們交配儀式的核心部分，但結果仍沒有定論。

∏（產品）

這*「來自恐怖谷的圓周率」*其實是個產品：

\prod^n_{x=1}f(x) = ∏ n x = 1 f ( x ) = f(x) f ( x )對於從1 1到n n 的所有x x值的乘積。

最好的解釋方式是透過比較：

\sum : \prod :: \text{加法}: \text{乘法} Σ : ∏ : :加法:乘法
如果您不記得 SAT 中的 : :: : 比較格式，那麼您就無法挽救了。

\bigcup^x_y \text{ 或 } \binom{n}{k} ⋃ x y或( n k ）
除非x x和y y都是很小的、看起來很正常的數字，否則你的日子將會非常糟糕。數學並不難，只是寫起來真的很痛苦。左邊的是集合並集合的迭代器，右邊的是二項式係數。

d/dx （衍生品）

興奮吧，因為終於到了大家最喜歡的科目：微積分！

f(x)\frac{d}{dx} = f'(x) = \text{f(x) 的導數} f ( x ) d d x = f ′ ( x ) = f ( x )的導數

導數衡量一件事的變化率（可能是x x ）相對於另一件事的變化率（可能是y y ，但如果機制設計者完全馴化的話，可能是t t ）。如果f(x) f ( x )是一條線，則其導數就是該線的斜率。換句話說，就是線路的變化率。如果有一條線在 x 軸上繪製“時間”，在 y 軸上繪製汽車距起點的距離，那麼該線的導數將是汽車的速度（位置相對於位置變化的速率）時間變化的速率）。如果汽車的速度在 y 軸上，那麼該線的導數就是汽車的加速度。這是他們在計算 1 中教授的內容，但從高中起你就不再需要使用它，因為直到最近討論「新機制」才變得很酷。看來你的老師一直都是對的。

∫（積分）

這條彎曲的線是一條「積分」。有趣的事實 - 聖經中沒有積分。

\int^x_yf(x) = ∫ x y f ( x ) =積分，又稱「反導數」。

如果函數f(x) f ( x )在圖形上建立一條線，則其積分是其下方的面積。即使你的高中老師也會承認你不太可能在日常工作中使用積分。畢竟，除非您是數學老師或必須處理機制設計師白皮書中的預期機率，否則積分幾乎沒有用處。說到這裡…

回到機率

累積分佈函數

F_X(x) F X ( x )是累積分佈函數，也稱為 CDF。如果你有一個分佈X X （這是x x可能的所有可能值的集合），那麼F_X(x) = \mathbb{E}[P(x > X)] F X ( x ) = E [ P ( x > X ) ] ，這是x x大於從集合X X中隨機選擇的值的機率。

例：若X = \ { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 \} X = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 }和x = 8 x = 8 ，則F_X(8) = 0.30 F X ( 8 ) = 0.30因為當您從X X中抽取一個隨機數時，只有30% 的機會您會得到以下三個數字之一：小於 8（2、4 和 6）。

機率密度函數

f_X(x) f X ( x )是機率密度函數，也稱為 PDF。它基本上是說從X X中隨機選擇的值等於x x 的機率。

例：若X = \ { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 \} X = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 }那麼f_X(6) = 0.10 f X ( 6 ) = 0.10因為我們有 10% 的機會從集合中抽出 6。換句話說， f_X(x) = \mathbb{E}[P(x = X)] f X ( x ) = E [ P ( x = X ) ] 。不要過多考慮這個方程式 - 如果x = X x = X的想法對您來說似乎是矛盾的，這是一個好跡象，表明您仍然是一個健康、正常的人。

例： X = \{2, \ 2, \ 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 \} X = { 2 , 2 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 } （請注意，我們將 4 替換為另一個 2），則f_X(2) = 0.20 f X ( 2 ) = 0.20且f_X(4) = 0.0 f X ( 4 ) = 0.0 。

請注意， F_X(x) F X ( x )在分析拍賣時非常有用，因為如果X X是所有出價的集合，則F_X(x) F X ( x )是我們的出價x x大於隨機出價的機率選定的出價， F_X(x)^n F X ( x ) n是我們的出價x x大於n n個出價的機率。

上一節的微積分發揮作用，因為機率密度函數f_X(x) f X ( x )是累積分佈函數F_X(x) F X ( x )的導數，而累積分佈函數是下列積分機率密度函數：

f_X(x) = F_X(x)\frac{d}{dx} f X ( x ) = F X ( x ) d d x
F_X(x) = \int^{\infty}_{- \infty} f_X(x) F X ( x ) = ∫ ∞ − ∞ f X ( x )

我們經常需要使用微積分來計算某人出價的可能性和一個出價高於另一個出價的可能性。

拍賣象形文字

人們通常將拍賣中的玩家集合（所謂的）稱為P P ，將玩家集合中的玩家稱為i i 。沒有人知道為什麼選擇了i i而不是p p ，但這可能是為了讓機制設計師可以到處說“i玩家”並互相嘲笑他們聰明的內部笑話。這種情況已經持續了幾十年。

如果出價稱為b b則b_i b i將是i i的出價。如果你想比較兩個玩家， j j通常是「另一個玩家」的替身，而-i − i是「除i i之外的所有玩家」的替身。

字母上方（或下方）的符號

有時，機制設計師可能會想與您分享一個與現有公式相似的新公式，但只是略有不同。如果您在字母上方或下方看到奇怪的符號，則可能表示方程式或變數已添加了某些內容以使其更加特別。

以下是一些範例：

• 如果i i是拍賣中的玩家（競標者）， i' i '可能就是他的死對頭。
  \item 如果b_i b i是玩家i i的出價，則b^*_i b ∗ i可能是最優出價。
  –警告：您可能想知道， 「不是所有出價都是最佳出價嗎？為什麼玩家我會出價不是最佳的？但你永遠不應該大聲問這個問題——這被認為是非常不合適的，而且你最終會被列入名單。
• 如果說g(x) g ( x )是一個適用於所有人的函數，那麼 g_i(x) g i ( x )就是一個只適用於像i i這樣的特殊玩家的函數。
• 如果t_i^2 t 2 i不是t_i t i 的平方，則可能表示它是t_i t i序列中屬於i i的第二個t t 。也許 2 在底部，但是我們應該把i i放在哪裡來將t t標記為特殊呢？這是機制設計師花費大部分時間來解決這類難題的完美例子。

ε（厄普西隆）

機制設計者使用\epsilon ϵ (epsilon) 符號來表示一個不平凡的量，這很諷刺，因為它代表了一個微不足道的量。順便說一句，瑣碎只是「微小」的一種聽起來更酷的說法。機制設計師可能會說「最佳投標價值是市場價格減去 epsilon」 ： b^*_i = v_i - \epsilon b ∗ i = v i − ϵ 。

⋅（點東西）

雖然這可能意味著乘法，但如果您在函數內部看到它本身，那麼這可能意味著機制設計者很懶，不想複製和貼上他們的數學。您通常只有在看過完整版本後才會看到此內容。例如，如果您不幸看到類似y = z + g(x^2+\mathbb{E}[Z] - \epsilon ) y = z + g ( x 2 + E [ Z ] − ϵ ) ，然後您可能會看到a = 2z + g(\cdot) a = 2 z + g ( ⋅ ) ，其中\cdot ⋅是x^2+\mathbb{E}[Z] 的替代品- \epsilon x 2 + E [ Z ] − ϵ 。

⇒（因此）

如果機制設計師想要證明為什麼某件事是這樣的，他們可能會使用這個箭頭。它的意思是“因此”或“因此......”。例如，如果機制設計師想要展示他的機制的大小證明他真的很聰明，它可能看起來像：

\mathbf{card}(mechanism_i) > \mathbf{card}(mechanism_{j}) \forall j\in P : j \not = i \Rightarrow F_{IQ}(iq_i) = 1 - \epsilon c a r d ( m e c a n i s m i ) >卡( m e c a n i s m j ) ∀ j ∈ P : j ≠ i ⇒ F I Q ( i q i ) = 1 − ϵ

一個很好的練習是評估您是否真正理解了這個方程式。如果你這樣做了，那就代表你一直在關注這篇論文！不幸的是，這也意味著你的期望不那麼酷。實際的英文翻譯是「如果玩家 i 製造的機制中的事物數量大於玩家 j 製造的機制中的事物數量，對於世界上所有可能的不是玩家 i 的玩家 j，那麼它由此可見，玩家i 的IQ有100% 的機會（減去極小的百分比）大於從世界上所有IQ 分佈中隨機選擇的IQ。

ψ、θ、γ、δ、σ、ψ、τ 或其他希臘字母

機制設計師喜歡定義變數。與他們的死敵數學家不同，機制設計師非常喜歡他們的變數具有異國情調，因此他們經常使用小寫希臘字母。閱讀機械裝置的白皮書時，最好始終準備好希臘字母表，這樣你就可以快速檢查設計者是否引用了一個變量（這很正常），或者使用某種基於儀式犧牲的召喚數學——這是一個危險信號。直觀地說。

聽起來很聰明的拍賣條款

事前和事後

當拍賣者在知道物品的價值之前必須弄清楚他們對物品的出價是多少時，拍賣被稱為事前拍賣。如果在出價時已知物品的價值，則拍賣稱為事後拍賣。這是罕見的案例之一，其中晦澀的拍賣語言實際上沒有它所描述的那麼冗長。幹得好，機制設計師！你做到了！

一價和二價拍賣

最高價拍賣是出價最高者按其出價支付的拍賣。第二價拍賣是最高出價者支付第二高價者出價的拍賣。機制設計者確實喜歡第二價格拍賣，因為他們向受益人支付的費用比第一價格多，但他們也更容易作弊，因此需要更強大的機制。

警告：切勿詢問機制設計師為什麼第二價格拍賣比第一價格拍賣更好。這就像問你的妻子最近是否做了什麼有趣的夢，或者工作中那個她不喜歡的女孩是否又造成了任何問題。如果機制設計師提出第一價格與第二價格的話題，只需直視他們的眼睛，然後用堅定的聲音告訴他們， “通過正確設計的機制和密封的出價，第二價格的拍賣顯然，均衡會導致預期的更多拍賣收入！這種反應是嚴格優勢策略。

密封投標意味著“私人”

無論如何，這就是直覺。

實用功能

效用函數，通常稱為收益函數，是指某人認為某物的價值。它通常以期望 來衡量，但這是由法國人開發的，因此\mathbb{E} E是不發音的。

例：若U(x) U ( x )是效用函數，則U_i(b_i, b_{-i}) U i (