本報告是我們先前關於不同彈性機制下聚合函數分析和價格彈性實證估計的後續研究。先前的分析確定了吞吐量和狀態成長之間的關鍵權衡關係，並估計了實證彈性範圍。在此，我們將兩者結合起來，為EIP-8037尋找最佳聚合函數和重定價乘數。
我們引入了兩個新的非對稱聚合函數，透過添加可調狀態權重w_s來推廣現有的 max 函數。它們最初由 Anders 提出。然後，我們搜尋整個參數空間(m, w_s, \text{agg}) ( m , w s , agg ) ，以找到在經驗估計範圍內所有彈性組合中，能夠最大化吞吐量並保持狀態增長低於 100 GiB/年的配置。
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主要發現：
- 這四個聚合函數都能滿足每年 100 GiB 的狀態成長約束，但所需的重定價乘數各不相同。非對稱函數需要更高的乘數（m=45），而求和函數和最大值函數分別需要 m=25 和 m=30。
- 整體而言，吞吐量提升幅度不大（中位數為 1.3 倍至 1.4 倍），遠低於理論上 5 倍的 gas 上限提升。這直接源自於較低的突發流彈性（ ε<sub>b</sub> ≈ 0， ε<sub>b </sub> ≈ 0 - 0.2 ） ：在突發流量需求缺乏彈性的情況下，較高的容量並不會轉化為較高的使用率。
- 非對稱函數相比求和與最大化函數，吞吐量略有提升（中位數約為 1.4 倍，而求和與最大化函數約為 1.3 倍），但提升幅度有限。此外，非對稱函數所需的乘數也高於求和與最大化函數。
- 在所有最優配置中，狀態創建的有效成本相對於基準增加了 1.6 倍至 2.3 倍，而突發事件的有效成本則下降至基線的 4% 至 9%。非對稱函數產生的有效成本略低於最大值函數和求和函數。
背景
我們的第一份報告分析了三種聚合函數（求和、最大值、突發）在廣泛的彈性係數網格（ε<sub>s </sub> , ε <sub> b </sub> ∈ [ 0.1 , 1.5 ] ）和兩個固定重定價乘數（m=10 和 m=18）下的表現。此分析顯示吞吐量和狀態成長之間存在根本性的權衡，並建議透過經驗測量彈性係數來選擇合適的聚合函數。
我們的第二份報告使用以太坊主網每日數據和 2025 年的三次 gas 限額增加事件估算了這些彈性。主要結果是狀態需求具有中等彈性（ \varepsilon_s \approx 0.3 ε s ≈ 0.3 - 0.6 0.6 ），而突發需求幾乎缺乏彈性（ \varepsilon_b \approx 0.0 ε b ≈ 0.0 - 0.2 0.2 ）。
本報告以兩者為基礎：我們使用經驗彈性範圍來縮小分析範圍，並共同優化聚合函數、重新定價乘數以及（對於新的非對稱函數）狀態權重。
聚合函數
我們評估了四種聚合函數。前兩種（求和與最大值）與我們的第一份報告中的相同。後兩種是新的推廣，引入了狀態資源的非對稱權重參數w_s （對於突發資源， w_r = 1 ） 。
| 功能 | 平衡條件 | 描述 |
|---|---|---|
| 和 | s \cdot m^{1-\varepsilon_s} \cdot r^{-\varepsilon_s} + (1-s) \cdot r^{-\varepsilon_b} = n s ⋅ m 1 − ε s ⋅ r − ε s + ( 1 − s ) ⋅ r − ε ε | 資源以累加方式共享區塊空間（目前 EIP-1559）。 |
| 最大限度 | \max(s \cdot m^{1-\varepsilon_s} \cdot r^{-\varepsilon_s},\; (1-s) \cdot r^{-\varepsilon_b}) = n max ( s ⋅ m 1 − ε s ⋅ r − ε s ⋅, − ε s ⋅ , ( 1 − s ) ⋅ r − ε b ) = n | 瓶頸資源決定價格（目前 EIP-8037 提案）。 |
| 非對稱最大值 | \max(w_s \cdot s \cdot m^{1-\varepsilon_s} \cdot r^{-\varepsilon_s},\; w_r \cdot (1-s) \ cdot r ^ { - \ varepsilon_b } ) = n max ( w s ε s . w r ⋅ ( 1 − s ) ⋅ r − ε b ) = n | 與最大值類似，但每個資源的權重可調。較低的w_s值會降低狀態對定價的影響。 |
| 非對稱歐幾裡得 | \sqrt{(w_s \cdot s \cdot m^{1-\varepsilon_s} \cdot r^{-\varepsilon_s})^2 + (w_r \cdot (1-s ) \ cdot r ^ { - \ varepsilon_b } ) ^ 2 } = n √√ w s 1 ⋅ ) r ⋅ ( 1 − s ) ⋅ r − ε b ) 2 = n | 將兩種資源平滑地結合起來，並調整權重。最終簡化為加權資源使用量的 L2 範數。 |
這裡， r = b^*/b^0 r = b ∗ / b 0是均衡基本費用比率， s s是初始狀態份額， m m是重新定價乘數， n n是 gas 限制乘數。
非對稱函數是對最大函數的推廣：當w_s = w_r = 1 時，非對稱最大函數退化為標準最大函數；而非對稱歐氏插值則在求和行為和最大行為之間平滑過渡。透過降低w_s 的值，我們可以減少基本費用更新中狀態使用的懲罰，從而允許更高的重定價乘數，避免狀態成為瓶頸。
方法論
穩健優化
以往的分析評估的是固定的參數組合。而本文則採用網格搜索法，對聚合函數和重定價乘數進行搜索，以考慮彈性不確定性：
參數網格：我們遍歷重定價乘數m ∈ {10, 15, 20, ..., 50}和狀態權重w_s ∈ { 0.2 , 0.4 , 0.6 , ... , 2.0 } ，分別針對四個聚合函數進行掃描。對於求和函數和最大值函數， w_s的值沒有影響。
彈性範圍：對於每種配置，我們根據先前分析的經驗估計，評估所有 25 種組合\varepsilon_s \in \{0.3, 0.375, 0.45, 0.525 , 0.6 \ } ε s ∈ { 0.3 , 0.375 , 0.45 ε . \{0.0, 0.05, 0.1, 0.15, 0.2\} ε b ∈ { 0.0 , 0.05 , 0.1 , 0.15 , 0.2 } 。
穩健可行性：如果對於每個彈性對，年度狀態成長≤100 GiB ，則配置(m, w_s, \text{agg}) ( m , w s , agg )是穩健可行的：
- 最優配置：在所有穩健可行的配置中，最優配置是指在所有彈性組合中吞吐量增益中位數最高的配置：
更新參數
我們沿用了第一份報告中的均衡模型，並更新了參數以反映最新的實證數據：
| 範圍 | 價值 | 描述 |
|---|---|---|
| n n | 5 | Gas 上限倍率（增加 5 倍） |
| 毫米 | 10-50 | 州天然氣成本乘數（已掃） |
| s s | 0.23 | 天然氣使用量的初始狀態份額（根據經驗分析） |
| G^0 G 0 | 60M氣體 | 當前氣體限制 |
| b^0 b 0 | 1 gwei | 基本費用 |
| S^0 S 0 | 47.3 kB/塊 | 目前狀態增長（325 MiB/天） |
| \varepsilon_s ε s | 0.3-0.6 | 州價格彈性（基於實證估計） |
| \varepsilon_b ε b | 0.0-0.2 | 突發價格彈性（基於經驗估計） |
請注意，狀態份額s = 0.23低於第一份報告中使用的s = 0.4 ，這反映了更新後的經驗測量結果。這意味著狀態操作目前消耗約 23% 的區塊 gas，剩餘的 77% 用於突發資源。
結果
最佳配置
每個聚合函數的最佳穩健配置是：
| 聚合函數 | 最優m m | 最優w_s w s | 中位數吞吐量增益 | 最大州成長率（GiB/年） |
|---|---|---|---|---|
| 非對稱最大值 | 45 | 0.6 | 1.39倍 | 93 |
| 非對稱歐幾裡得 | 45 | 0.6 | 1.39倍 | 92 |
| 最大限度 | 30 | - | 1.31倍 | 84 |
| 和 | 25 | - | 1.27倍 | 85 |
下圖顯示了每種最佳配置下所有 25 個彈性對的吞吐量增益分佈情況。
主要觀察：
非對稱函數透過啟用更高的重定價乘數（m=45 對比 m=25-30）實現了最高的吞吐量增益（中位數的 1.39 倍）。較低的狀態權重（ w_s = 0.6 ）降低了狀態對定價的影響，從而允許更高的m值，而不會超過狀態增長上限。
吞吐量差異很小：最佳（非對稱最大值）與最差（總和）之間僅相差約 0.1 倍。這反映了突發需求缺乏彈性這一主導因素的影響。
Sum 和 max 函數在較小的重定價乘數（m=25-30 對比 m=45）下即可實現類似的狀態增長控制，這意味著對當前狀態定價的干擾更小。非對稱函數需要更高的m值來彌補狀態權重的降低，以較為溫和的有效價格上漲為代價，換取適度的吞吐量優勢。
可行性概況
對於非對稱函數，可行性圖展示了參數(m, w_s )的選擇如何影響可行性和吞吐量。下方的熱圖顯示了每種參數組合的吞吐量增益中位數，白色單元格表示不可行配置，星號標記最優配置。
可行性要求要么是較高的m m （更大的狀態重定價），要么是較高的w_s w s （基本費用更新中更大的狀態懲罰）。最優配置位於可行域的邊界，在較高的m m和適中的w_s w s之間取得平衡。
透過重新定價乘數效應提高吞吐量
對於每個聚合函數，下圖顯示了在每個重新定價乘數m m下可達到的最佳中位數吞吐量增益，滿足穩健可行性要求。
在較低的m值下，非對稱函數的表現相近。隨著m值的增加，非對稱函數的效能有所提升，因為它們可調的權重可以部分抵消狀態成本的增加，從而使它們在高乘數下獲得更高的吞吐量。
只有當m= 25和m =30時，求和函數和最大值函數才能分別達到可行的配置。它們在這些值處達到峰值，然後下降——更高的m值會過度懲罰狀態，從而降低總吞吐量。
對彈性的敏感性
下方的熱圖顯示了每種最優配置下，吞吐量增益在整個(ε<sub>s</sub>, ε <sub> b </sub> )範圍內的變化。由於狀態增長在不同彈性模量下幾乎保持不變，因此我們沒有報告狀態增長的相同指標。
在所有函數中，吞吐量增益均隨彈性係數的增大而增加，非對稱函數的增益範圍從 1.0 倍（ ε<sub>s</sub> = 0.3，ε<sub> b </sub> = 0 ）到約2.0倍（ ε<sub> s </sub> = 0.6 ， ε<sub> b</sub> 4.2 </sub> 1.6 ，倍，總和函數的增益可達約 1.6 倍。最壞情況（兩個彈性係數皆為最小值）不會帶來吞吐量提升－突發需求彈性過低，無法隨容量增加而擴展。
有效價格變動
根據 EIP-8037，每單位資源的實際支付價格取決於均衡基本費用b^* b ∗和重新定價乘數m m ：
- 突發資源：有效價格比為r^* r ∗
- 國家資源：有效價格比率為r^* \cdot m r ∗ ⋅ m
儘管基礎費用大幅下降，但狀態操作的重新定價倍數影響顯著，導致其整體成本更高。具體而言，突發操作在所有配置下都大幅降低（中位數為基準值的 4% 至 9%），而狀態操作的成本則上漲了 1.6 倍至 2.3 倍（中位數）。
| 聚合函數 | 毫米 | 中位數突發價格（ r^* r ∗ ） | 州中位數價格 ( r^* \cdot m r ∗ ⋅ m ) |
|---|---|---|---|
| 非對稱最大值 | 45 | 0.04倍 | 1.6倍 |
| 非對稱歐幾裡得 | 45 | 0.04倍 | 1.7倍 |
| 最大限度 | 30 | 0.07倍 | 2.1倍 |
| 和 | 25 | 0.09x | 2.3倍 |
下面的熱力圖顯示了每個最佳配置下，有效狀態價格變化如何隨彈性組合而變化。
非對稱函數在滿足州增長約束的前提下，實現了最低的有效州價格漲幅。這是因為它們較高的m m 值部分被較低的均衡基本費用所抵消。
求和法產生最寬的狀態價格範圍，這意味著狀態創建的有效成本對實際彈性值更為敏感。
整體而言，較高的突發價格彈性和較低的狀態價格彈性會導致較高的有效狀態價格。
結論
本分析利用經驗估計的彈性係數和穩健的最佳化方法，縮小了EIP-8037的設計空間。主要結論如下：
低突發彈性限制了吞吐量的提升。在所有聚合函數中，吞吐量的中位數提升僅為 1.3 倍至 1.4 倍，遠低於 5 倍的 gas 上限提升。這是由於經驗結果顯示突發需求幾乎缺乏彈性（ ε<sub> b </sub> ≈ 0 ） 。在需求缺乏彈性的情況下，容量增加所帶來的價格下降並不能轉化為相應比例的更高使用量。
非對稱函數帶來的改進微乎其微。非對稱最大值函數和非對稱歐幾里德函數需要更高的重定價乘數（m=45）才能透過降低狀態在基礎費用更新中的權重來實現相同的狀態成長率。它們還能比求和函數或最大值函數提高約0.1倍的吞吐量。這種微弱的收益是否值得增加的複雜性，取決於設計選擇。
所有函數均可滿足 100 GiB/年的狀態成長約束。此限制可透過重新定價乘數 m=25（總和）、m=30（最大值）或 m=45（ w_s = 0.6 w s = 0.6的非對稱函數）來實現。
實際州價格溫和上漲（1.6倍至2.3倍）。由於均衡基本費用下降，這遠低於原始重定價乘數。非對稱函數實現了最溫和的實際州價格上漲。
