0xAlpha 投稿 DODO research：讓我們一起深入解析了 zk-SNARK 技術，探討它在加密和區塊鏈中實現隱私保護的原理和應用
作者：0xAlpha Co-founder @DeriProtocol
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0xAlpha 投稿 DODO research。這篇文章將用數學解碼這項技術，揭示它如何在不透露任何信息的情況下證明知識的真實性。準備好，讓我們一起揭開 zk-SNARK 的神秘面紗。
介紹
zk-SNARK，即 “零知識簡潔非交互式知識論證”，使得一名驗證者 能夠確認一名證明者 擁有某些特定知識，這些知識被稱為 witness，滿足特定的關係，而無需透露關於見證本身的任何信息。
為特定問題生成 zk-SNARK 包括以下四個階段：
- 將問題（或函數）轉換成算術門電路。
- 然後將這個電路翻譯成矩陣公式。
- 這個矩陣公式進一步轉換成一個多項式，這個多項式應該能被一個特定的最小多項式整除。
- 最後，這種可整除性在有限域的橢圓曲線點中表示出來，證明就在這裡進行。
前三個步驟僅僅是轉換了原始陳述的表示方式。最後一個步驟使用同態加密將第三步的陳述投影到加密空間中，使得證明者能夠證實其中的鏡像陳述。鑑於這種投影利用了非對稱加密，從第三步的陳述回溯到原始陳述是不可行的，確保了零知識的暴露。
閱讀本文所需的數學背景相當於 STEM 專業學生的大一級代數水平。唯一可能具有挑戰性的概念可能是橢圓曲線加密。對於不熟悉這一點的人來說，可以將其視為具有特殊基數的指數函數，同時要記住其逆函數仍然未解。
在本文中，我們將繼續使用方程式 (1) 作為討論的基礎。
第 1 步：算術門電路
方程式 (1) 可以分解為以下基本算術運算：
這對應於以下算術門電路：
我們還將方程式 (2) 稱為一組 4 個 “一級約束”，每個約束描述了電路中一個算術門的關係。通常，一組 n 個一級約束可以概括為一個二次算術程序（QAP），接下來將進行解釋。
第 2 步：矩陣
第 3 步：多項式
如果提取出每一行單獨觀察，不難發現這四行對應於在四個點分別求值的相同表達式。因此，上述矩陣方程等價於：
一種直接但不保密的方式來證明這一點是提供方程式 (4) 的左邊並展示因式分解。然而，zk-SNARK 的主要目的是保持隱秘（不透露任何知識）。因此，我們不會直接證明這個方程，而是在橢圓曲線點的空間中證明它的加密版本。
第 4 步：橢圓曲線點
將方程式 (4) 重寫為：
接下來，我們將更詳細地闡述實際的操作步驟。
橢圓曲線加密
另一方面，兩個橢圓曲線點的加法定義如下圖所示：
然而，Alice 想要證明的方程式 (5) 是二次形式的，所以線性不夠。為了處理二次項，我們需要在加密空間中定義乘法。這被稱為配對函數，或雙線性映射，接下來將進行解釋。
雙線性映射
這是我們都熟悉的東西——加法和乘法操作的分配律。
有了這樣的雙線性映射，我們就可以將方程式 (5) 的兩邊映射到加密空間。
公共參考字符串
整個過程被稱作 “驗證鑰”，簡稱 VK。這裡只涉及 7 個橢圓曲線點（ECPs），需要提供給驗證方。要注意的是，不管問題裡面涉及多少輸入和一級約束，VK 始終是由 7 個 ECPs 構成的。
另外，值得一提的是，“可信設置” 以及生成 PK 和 VK 的過程，對於一個特定的問題來說，只需操作一次即可。
證明與驗證
現在擁有公鑰（PK），愛麗絲將計算以下橢圓曲線點（ECPs）：
這 9 個橢圓曲線點就是零知識簡潔非交互式證明（zk-SNARK）的關鍵！
注意，愛麗絲其實只是對公鑰裡的橢圓曲線點做了些線性組合運算。這點特別關鍵，驗證時會重點檢查。
現在，愛麗絲交出了 zk-SNARK 證明，咱們終於進入驗證環節，分三步走。
參考文獻
- “Zk-SNARKs: Under the Hood” (Vitalik Buterin)
- “A Review of Zero Knowledge Proofs” (Thomas Chen, Abby Lu, Jern Kunpittaya, and Alan Luo)
- “Why and How zk-SNARK Works: Definitive Explanation” (Maksym Petkus)
- Website: Zero-Knowledge Proofs
- Wikipedia: Elliptic curve
- Wikipedia: Finite field
- Wikipedia: Pairing-based cryptography
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