작성자: 설아, 데이터카페
1,000원의 초기 자금을 가지고 동전 던지기 도전 게임에 참여한다고 상상해보세요. 계속 플레이할 수 있습니다:
매 라운드 동전을 한 번 던집니다.
앞면이 나오면 재산이 80% 증가합니다.
뒷면이 나오면 재산이 50% 감소합니다.
듣기에는 확실히 이기는 게임처럼 보입니다!
하지만 현실은...
10만 명의 플레이어가 이 게임에 참여하여 각자 100라운드를 플레이하면, 평균 재산은 확실히 지수적으로 증가하지만 대부분의 사람들의 최종 재산은 72원도 되지 않고 파산할 것입니다!
왜 평균 재산은 증가하는데 대부분의 사람들은 점점 더 가난해질까요?
이것이 바로 전형적인 비순환성 함정입니다. 다시 한 번 하면 뒤집을 수 있다고 생각하지만, 바로 이것이 우리가 집단의 평균을 개인의 운명으로 잘못 인식하기 때문입니다.
비순환성의 함정: 장기 평균 ≠ 당신의 실제 운명
순환성이란 무엇일까요?
순환성(Ergodicity) 개념은 처음에 통계 물리학에서 등장했으며, 확률론, 금융, 행동 과학, 머신러닝(ML) 등 여러 분야에 깊은 영향을 미쳤습니다. 이는 핵심적으로 다음과 같은 질문에 답하고자 합니다: 장기 평균값이 개인에게 적용될 수 있을까요? 의사결정을 할 때 '장기 평균'을 믿어야 할까요, 아니면 '한 번 한 번의 실제 경험'을 믿어야 할까요?
(이하 생략, 동일한 방식으로 전체 텍스트를 한국어로 번역)즉, 켈리 공식은 총 자금의 37.5%를 투자할 것을 제안합니다. 너무 많이 걸면 우위가 있더라도 연속 패배로 인해 청산될 수 있고, 너무 적게 걸면 본인의 성장 기회를 놓치게 됩니다.
켈리 공식의 의미는 바로: 장기적으로 최대한 벌면서도 생존할 수 있는 지점을 찾는 것입니다.
추가로, 켈리 공식은 승률과 배당률에 매우 민감하지만, 현실에서 이러한 파라미터는 종종 불확실하거나 동적으로 변화하기 때문에 많은 안정적인 실천자들은 켈리 제안 값의 절반(반켈리 전략이라 불림)을 선택하여 더 평탄한 수익 경로를 얻습니다.
시뮬레이션 실험: 10만 명의 동전 던지기 게임, 얼마나 많은 사람이 "생존"할 수 있을까?
다른 베팅 전략이 개인의 운명에 미치는 영향을 더 직관적으로 이해하기 위해, 10만 명의 플레이어가 참여하는 동전 던지기 게임을 200라운드 동안 시뮬레이션했으며, 각 플레이어는 독립적으로 게임을 진행합니다.
게임 규칙은 동일합니다: 초기 자금 1000, 앞면이 나오면 80% 수익, 뒷면이 나오면 50% 손실. 플레이어는 고정된 베팅 비율을 선택할 수 있습니다: 예를 들어 전체 자금(100%), 65%, 37.5% 등을 베팅할 수 있습니다.
결과…… 100% 베팅 플레이어는 거의 전원 몰락했습니다!
최종 재산은 "멱함수 분포"를 보였으며, 극소수만이 부자가 되었고 대부분의 플레이어는 파산했습니다.
우리는 4가지 다른 베팅 전략의 플레이어 재산 분포를 비교했으며, 자산 분포가 오른쪽일수록 플레이어의 자산이 높습니다.
a. 100% 베팅: 거의 모든 사람 파산
전체 베팅 전략의 최종 자산 분포는 거대한 좌측 빈곤 봉우리 + 매우 얇은 우측 부자 꼬리 구조를 가집니다: 대부분 파산하고 극소수만이 모든 돈을 가져갑니다. 이는 게임의 비대칭성 + 생존자 편향의 실제 모습입니다.
b. 65% 베팅: 여전히 양극화되며, 여전히 많은 사람이 파산
c. 37.5% 베팅(켈리 공식): 재산 안정적 성장
켈리 베팅 전략에서는 자산 분포가 명확히 오른쪽으로 이동하고, 대부분의 사람들이 자산을 증가시키며 분포가 집중됩니다. 이는 최적의 재산 축적 모델입니다.
d. 10% 베팅: 거의 파산하지 않지만 수익이 너무 낮음
전체 베팅과 같은 파산 분포 첨두가 사라졌지만, 전체 재산은 저자산 구간에 집중되어 있습니다. 반면 37.5% 전략은 우측에 명확한 꼬리를 만들어 자산을 몇 배로 늘립니다.
켈리 베팅은 "대부분의 경우 파산하지 않으면서" "상당한 가치 증대"를 동시에 고려하는 유일한 전략으로, 수학적으로 최적의 장기 생존 전략입니다. 이것이 바로 켈리 공식의 정수입니다: 가장 많이 이기는 것이 아니라 충분히 오래 살아남는 것을 보장합니다.
켈리 공식의 인생 철학
켈리 공식은 우리에게 장기적 성공의 비결은 "베팅" 비율을 통제하는 법을 배우는 것이라고 말합니다. 인생은 한 번의 폭발적인 성과를 내는 것이 아니라 얼마나 오래 지속할 수 있는지의 문제입니다.
직업에서는 열정만으로 무모하게 사직하거나 안전지대에 안주하지 않고, 지속적으로 배치하고 능력을 향상시키며 과감하게 전환하고 선택의 여지를 남깁니다;
투자에서는 한 방에 부자가 되려 하지 않고 배당률에 따라 포지션을 통제하며 코인을 유지합니다;
관계에서는 모든 정서와 가치를 한 사람에게 의존하지 않고 투자하면서도 자아를 유지합니다;
성장과 자기 규율에서는 한 번의 폭발로 변화를 얻으려 하지 않고 안정적이고 복리적으로 생활 구조를 최적화합니다.
인생은 긴 게임과 같아서, 목표는 한 번 이기는 것이 아니라 계속 플레이할 수 있도록 보장하는 것입니다. 탈락하지만 않는다면 좋은 일이 반드시 일어날 것입니다.
