인간이 잊었던 문제에 대한 해결책이 GPT-5 Pro에 의해 재발견되었습니다!
이 사건은 저명한 수학자 파울 에르되시가 제기하거나 의역하여 erdosproblems.com 웹사이트에 등재된 거의 천 개의 문제 중 하나인 에르되시 문제 339번 에 초점을 맞추고 있습니다. 이 웹사이트는 각 문제의 현재 상태를 추적하며, 약 3분의 1은 해결되었고 나머지 대부분은 아직 해결되지 않은 상태입니다.
이전에는 이 문제가 "미해결"로 분류되어 풀기 어려운 수학 문제로 여겨졌지만, 많은 사람들이 여전히 이 문제를 연구하고 탐구하고 있습니다.
최근에야 누군가가 GPT-5 Pro를 사용해 검색을 해서 이 문제가 실제로 2003년에 해결되었다는 사실을 발견했습니다.
특히 주목할 점은 GPT-5 Pro가 에르되시 질문 #339의 이미지만을 사용하여 주요 문서를 직접 찾아냈다는 점입니다.
OpenAI 연구원인 세바스찬 부벡이 이 사실을 공유한 후, 대량 네티즌의 관심을 즉시 끌었습니다.
그런데 테렌티우스 타오의 유명한 업적 중 하나는 수십 년 동안 수학계를 괴롭혀 온 추측인 "에르되스 불일치 문제"를 "에르고딕 이론"이라는 도구를 사용하여 해결했다는 것입니다.
문제 세부 정보
구체적으로, 에르되시 문제 #339는 덧셈적 기저 방향의 수론에서 고전적인 문제로, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
A⊆N을 r차 기저라고 하자(즉, 충분히 큰 모든 정수는 A의 r개 원소의 합으로 표현될 수 있다). 그러면 A의 정확히 r개의 서로 다른 원소의 합으로 표현될 수 있는 정수 집합은 반드시 양의 낮은 밀도를 가질까?
또한 에르되시와 그레이엄은 이와 관련된 질문을 제기했습니다. A의 r개 원소의 합으로 표현될 수 있는 정수 집합이 양의 상한 밀도를 갖는다면, A의 정확히 r개의 서로 다른 원소의 합으로 표현될 수 있는 정수 집합도 양의 상한 밀도를 갖는가?
GPT-5 Pro가 이 문제가 해결되었다는 사실을 알아내기 전에, 네티즌들은 웹사이트에서 이 문제에 대해 일련의 토론을 벌였습니다.
네티즌 Adenwalla는 유명한 Waring 문제에서 시작하여 거의 모든 정수는 최대 15제곱의 합으로 표현될 수 있지만 16제곱이 필요한 정수는 무한히 많다고 지적했습니다. 즉, G(4)=16이지만 G₁(4)=15입니다.
이로 인해 다음과 같은 생각이 듭니다. 이는 덧셈 기반 문제에서 낮은 밀도 결론이 성립하지 않을 수 있음을 의미하는가?
곧 Woett, Boris Alexeev 등은 Waring 문제의 예가 "원소가 반복될 수 있는" 경우인 반면, Erdős 문제 #339는 "원소가 서로 다르다"는 것을 요구하므로 이 예는 반례가 될 수 없으며 원래 문제의 조건이 더 엄격하다고 지적했습니다.
이후 토론은 더욱 심화되었습니다.
잭 헌터는 다양한 스케일에서 가산 염기의 밀도 안정성을 탐구했고, 워트는 제안된 반증에 대한 반례로 몇 가지 구체적인 집합 구조를 제시했습니다. 양측은 "구별되는 원소", "낮은 밀도", "유한 배가"와 같은 개념에 대해 논쟁했습니다.
결국, 그들은 이러한 구성들이 합집합의 크기에 희소하거나 심지어 지수적으로 갭이 발생하는 사례를 만들어낼 수는 있지만, "정확히 r개의 서로 다른 원소의 합으로 표현될 수 있는 정수 집합"의 낮은 밀도를 실제로 0에 가깝게 만들 수는 없다는 것을 발견했습니다. 다시 말해, 이러한 반례 구성들은 명제를 성공적으로 반증하지 못했습니다.
네티즌들 사이에서 논쟁이 벌어지고 있고, 질문이 타당한지에 대한 논란도 여전히 진행 중이었습니다.
Msawhney는 이 문제가 실제로 2003년에 해결되었다고 모든 사람에게 상기시켰습니다.
핵심 기반은 Hegyvari, Hennecart, Plagne가 저술한 "제한된 덧셈에 대한 두 가지 에르되시 추측의 증명과 추가 결과"라는 논문입니다. 이 논문은 "J. reine angew. Math." (즉, "Crelle"), 560권, 199-220쪽에 게재되었습니다.
정리 4는 이 문제에 대한 해결책을 직접적으로 구성합니다.
정답을 찾아낸 것은 바로 GPT-5 Pro였습니다. 질문의 스크린샷만으로 문서를 정확하게 찾아냈죠.
폴 에르되스 소개
폴 에르되시는 20세기의 가장 뛰어나고 다작한 수학자 중 한 명으로, 수론, 조합론, 그래프 이론, 확률론 및 기타 분야에 큰 공헌을 한 것으로 유명합니다.
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그는 평생 거의 1,500편의 논문을 발표했고 500명 이상의 공동 연구자들과 함께 연구를 수행했습니다 . 그의 폭넓은 협력 정신은 수학계에 " 에르되시 수(Erdős number )"라는 개념을 탄생시켰습니다. 이 수는 수학자와 에르되시 사이의 학문적 연관성을 측정하는 "명예 지표"가 되었습니다.
그는 1913년 헝가리 부다페스트에서 태어났습니다. 네 살 때부터 이미 여러 자리 곱셈을 암산으로 풀 수 있었습니다. 열 살 때는 고등학교 수학 교육과정 전체를 독학하고 수론을 공부하기 시작했습니다.
1934년, 21세의 에르되시는 부다페스트 대학교에서 박사학위를 받았지만, 전쟁 등의 영향으로 인해 '표류'하기 시작했습니다.
그는 정해진 직책 없이 강연료, 보너스, 그리고 친구들의 지원으로 생계를 유지합니다. 그는 항상 여행 가방을 메고 전 세계 대학과 수학자들의 집을 오가며 동료들과 공동 연구를 진행하고 문제를 논의하며, 평균 몇 주마다 자리를 바꿉니다.
에르되시는 평생 문제 중심적인 연구 방식으로 유명했습니다 . 체계적인 이론을 추구하기보다는 끊임없이 흥미로운 문제를 제기하고 해결했습니다. 그의 수백 가지 추측은 오늘날 수학의 최전선에 남아 있습니다.
정수론은 에르되시에게 가장 심오하고 결실을 맺은 분야였습니다. 그의 연구는 20세기 정수론, 특히 소수 분포와 덧셈 정수론 분야의 발전에 직접적인 영향을 미쳤습니다. 예를 들어, 그와 노르웨이 수학자 아틀레 셀베르그는 기초적인 방법을 사용하여 소수 정리를 증명했는데, 이는 수학계를 경악하게 했습니다.
에르되시는 램지 수 연구의 선구자 중 한 명이기도 했습니다. 그는 조합수론에 확률론을 도입하고 램지 수의 하한을 추정했습니다.
그가 제안한 유명한 "에르되시 차이 문제"는 1930년대와 1940년대로 거슬러 올라갑니다.
내용은 +1과 -1의 무한 수열(예: (1, -1, 1, -1, ...))이 주어졌을 때, "첫 번째 n개 항의 부분합"을 S(n)으로 정의하고, "차"는 모든 부분합의 최대 절댓값을 의미한다는 것입니다.
에르되시는 그러한 모든 시퀀스에 대해 n이 증가함에 따라 차이가 무한히 증가할 것이라고 추측했습니다(즉, "유한 차이"가 있는 무한 ±1 시퀀스는 존재하지 않습니다).
겉보기에 간단해 보이는 이 문제는 정수론, 조합론, 그리고 조화 해석학을 아우르며 20세기 가장 유명한 미해결 추측 중 하나가 되었습니다. 2015년이 되어서야 수학자 테렌스 타오가 에르고딕 이론이라는 도구를 도입하여 이 추측을 푸는 데 있어 부분적인 돌파구를 마련했습니다.
에르되시는 생의 마지막 몇 년 동안에도 수학을 공부하고 논문을 집필하는 데 전념했습니다. 1996년, 그는 폴란드 바르샤바에서 열린 학술 대회에 참석하던 중 심장마비로 83세의 나이로 사망했습니다.
2024년, 영국의 수학자 토마스 블룸은 에르되시 문제를 연구하는 웹사이트를 개설했습니다.
한 가지 더
캘리포니아 대학교 어바인 캠퍼스의 수학 교수인 파타 이바니스빌리 역시 GPT-5Pro가 출판된 논문의 심각한 결함을 식별하는 데 좋은 성과를 보였다고 트윗했습니다.
5년 전, 저는 이 논문을 며칠 동안 조사하다가 취약점을 하나 발견했습니다. 저자들이 나중에 이를 확인했죠. GPT-5 Pro는 단 18분 만에 동일한 취약점과 몇 가지 사소한 문제를 추가로 발견했습니다. 이런 일이 여러 번 발생하는 것을 봤습니다.
이 트윗은 OpenAI 사장 Greg Brockman도 리트윗했습니다.
네티즌들은 이것이 강력한 응용 시나리오라고 말했습니다.
GPT-5 Pro를 사용하여 과학 문헌을 검증하면 연구자들이 학문적 주장을 검증하고 논리적 모순을 발견하는 과정을 크게 가속화할 수 있습니다.
네티즌들이 말하는 암웨이 팁도 있습니다.
과학 논문을 꼼꼼히 읽기 위한 최고의 팁은 "깊이 있게 읽으세요 - grep이나 scan은 안 됩니다 - 한 번에 1,000줄씩 읽으세요"라는 문구를 프롬프트에 포함하는 것입니다.
또 다른 제안은 순환성 감사를 실시하는 것입니다.
에르되시 문제 공식 웹사이트: https://www.erdosproblems.com/faq
참조 링크:
[1]https://x.com/세바스티앙부벡/상태/1977181716457701775[2]https://x.com/gdb/상태/1977153596811804890
본 기사는 WeChat 공개 계정 "Quantum Bit" 에서 발췌하였으며, 저자는 Xifeng이고, 36Kr.의 출판 허가를 받았습니다.
