Giải pháp cho vấn đề mà con người lãng quên đã được GPT-5 Pro khám phá lại!
Sự việc tập trung vào Bài toán Erdös số 339 , một trong gần một nghìn bài toán được nhà toán học nổi tiếng Paul Erdös đặt ra hoặc diễn giải và được liệt kê trên trang web erdosproblems.com. Trang web này theo dõi tình trạng hiện tại của từng bài toán, trong đó khoảng một phần ba đã được giải quyết và phần lớn vẫn chưa được giải quyết.
Trước đây, bài toán này được đánh dấu là "chưa giải được" và là một bài toán khó. Nhiều người vẫn đang tiếp tục nghiên cứu và khám phá nó.
Phải đến gần đây, một người nào đó mới sử dụng GPT-5 Pro để tìm kiếm và phát hiện ra rằng vấn đề này thực sự đã được giải quyết vào năm 2003 .
Điều đáng chú ý là GPT-5 Pro đã định vị trực tiếp tài liệu quan trọng chỉ bằng cách sử dụng hình ảnh câu hỏi số 339 của Erdő.
Sau khi nhà nghiên cứu Sebastien Bubeck của OpenAI chia sẻ vấn đề này, nó đã ngay lập tức thu hút sự chú ý của lượng lớn cư dân mạng.
Nhân tiện, một trong những thành tựu nổi tiếng của Terence Tao là ông đã phá vỡ "vấn đề bất hợp lý Erdős", một giả thuyết đã gây khó khăn cho cộng đồng toán học trong nhiều thập kỷ, bằng cách sử dụng công cụ "lý thuyết ergodic".
Chi tiết vấn đề
Cụ thể, Bài toán số 339 của Erdős là một bài toán kinh điển trong lý thuyết số theo hướng cơ sở cộng tính, có thể được biểu thị như sau:
Giả sử A⊆N là một cơ sở cấp r (tức là mọi số nguyên đủ lớn đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của r phần tử trong A). Vậy thì, tập hợp các số nguyên có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của đúng r phần tử phân biệt trong A có nhất thiết phải có mật độ dưới dương không?
Ngoài ra, Erdős và Graham cũng đặt ra một câu hỏi liên quan: Nếu tập hợp các số nguyên có thể biểu thị dưới dạng tổng của r phần tử trong A có mật độ trên dương, thì tập hợp các số nguyên có thể biểu thị dưới dạng tổng của chính xác r phần tử khác nhau trong A cũng có mật độ trên dương không?
Trước khi GPT-5 Pro phát hiện ra vấn đề này đã được giải quyết, cư dân mạng đã có sê-ri cuộc thảo luận về vấn đề này trên trang web.
Bắt đầu từ Bài toán Waring nổi tiếng, cư dân mạng Adenwalla chỉ ra rằng hầu hết các số nguyên đều có thể được biểu thị dưới dạng tổng của tối đa 15 lũy lần, nhưng vẫn có vô số số nguyên yêu cầu 16 lũy lần, tức là G(4)=16 nhưng G₁(4)=15.
Điều này dẫn đến suy nghĩ: liệu điều này có nghĩa là kết luận về mật độ thấp hơn trong bài toán cơ sở cộng tính có thể không đúng không?
Ngay sau đó, Woett, Boris Alexeev và những người khác chỉ ra rằng ví dụ trong bài toán Waring là trường hợp "các phần tử được phép lặp lại", trong khi bài toán số 339 của Erdő yêu cầu "các phần tử phải khác nhau", do đó ví dụ này không thể cấu thành phản ví dụ và các điều kiện của bài toán ban đầu nghiêm ngặt hơn.
Cuộc thảo luận sau đó tiếp tục đi sâu hơn.
Zach Hunter tìm cách khám phá tính ổn định mật độ của các bazơ cộng tính ở các thang đo khác nhau, trong khi Woett đề xuất một số cấu trúc tập hợp cụ thể làm phản ví dụ cho sự bác bỏ được đề xuất. Hai bên tranh luận về các khái niệm như "phần tử riêng biệt", "mật độ thấp hơn" và "nhân đôi bị chặn".
Cuối cùng, họ nhận thấy rằng mặc dù những cấu trúc này có thể tạo ra các ví dụ với khoảng cách thưa thớt hoặc thậm chí theo cấp số nhân về kích thước của tập hợp tổng, chúng vẫn không thể làm cho mật độ thấp hơn của "tập hợp các số nguyên có thể được biểu thị dưới dạng tổng của đúng r phần tử khác nhau" thực sự tiến tới không. Nói cách khác, những cấu trúc phản ví dụ này đã không bác bỏ thành công mệnh đề.
Đúng lúc cư dân mạng đang tranh cãi với nhau và vẫn còn tranh cãi về việc liệu câu hỏi có hợp lệ hay không.
Msawhney nhắc nhở mọi người rằng vấn đề này thực ra đã được giải quyết từ năm 2003.
Cơ sở cốt lõi là bài báo "Một bằng chứng về hai phỏng đoán của Erdos về phép cộng hạn chế và các kết quả tiếp theo" của Hegyvari, Hennecart và Plagne, được xuất bản trong "J. reine angew. Math." (tức là "Crelle"), Tập 560, trang 199-220.
Trong đó 4 trực tiếp đưa ra lời giải cho bài toán này.
GPT-5 Pro đã tìm ra câu trả lời. Nó định vị chính xác tài liệu chỉ dựa trên ảnh chụp màn hình câu hỏi.
Giới thiệu về Paul Erdös
Paul Erdős là một trong những nhà toán học xuất sắc và sung mãn nhất của thế kỷ 20, được biết đến với những đóng góp quan trọng cho lý thuyết số, tổ hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết xác suất và các lĩnh vực khác.
△
Ông đã công bố gần 1.500 bài báo trong suốt cuộc đời và tiến hành nghiên cứu với hơn 500 cộng sự . Tinh thần hợp tác sâu rộng của ông đã làm nảy sinh khái niệm " số Erdős " trong cộng đồng toán học. Con số này đã trở thành một "chỉ báo danh dự" để đo lường mức độ gắn bó học thuật của một nhà toán học với Erdős.
Ông sinh ra tại Budapest, Hungary vào năm 1913. Mới 4 tuổi, ông đã có thể tính nhẩm phép nhân nhiều chữ số. Năm 10 tuổi, ông tự học toàn bộ chương trình toán trung học và bắt đầu nghiên cứu lý thuyết số.
Năm 1934, Erdös, 21 tuổi, nhận bằng tiến sĩ từ Đại học Budapest, và sau đó bắt đầu "lạc lối" do ảnh hưởng của chiến tranh và các yếu tố khác.
Ông không có chức vụ cố định và sống nhờ thù lao diễn thuyết, tiền thưởng và sự hỗ trợ từ bạn bè. Ông luôn mang theo vali và đi đến các trường đại học và nhà của các nhà toán học trên khắp thế giới, hợp tác với các đồng nghiệp trong nghiên cứu và thảo luận các vấn đề, trung bình cứ vài tuần lại thay đổi địa điểm một lần.
Suốt cuộc đời, Erdös nổi tiếng với phương pháp nghiên cứu lấy vấn đề làm trọng tâm . Thay vì theo đuổi các lý thuyết có hệ thống, ông liên tục đặt ra và giải quyết những vấn đề thú vị. Hàng trăm phỏng đoán của ông vẫn còn là những phát minh hàng đầu của toán học ngày nay.
Lý thuyết số là lĩnh vực sâu sắc và thành công nhất của Erdös. Công trình của ông đã trực tiếp thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết số trong thế kỷ 20, đặc biệt là trong các lĩnh vực phân phối số nguyên tố và lý thuyết số cộng. Ví dụ, ông và nhà toán học người Na Uy Atle Selberg đã sử dụng phương pháp sơ cấp để chứng minh định lý số nguyên tố, một kết quả đã làm kinh ngạc cộng đồng toán học.
Erdös cũng là một trong những người sáng lập nghiên cứu số Ramsey. Ông đã đưa lý thuyết xác suất vào lý thuyết số tổ hợp và đưa ra ước tính về giới hạn dưới của số Ramsey.
"Bài toán khác biệt Erdos" nổi tiếng mà ông đề xuất có thể bắt nguồn từ những năm 1930 và 1940.
Nội dung là cho một dãy vô hạn +1 và -1 (chẳng hạn như (1, -1, 1, -1,…)), hãy định nghĩa "tổng riêng của n số hạng đầu tiên" là S(n), thì "hiệu" đề cập đến giá trị tuyệt đối lớn nhất của tất cả các tổng riêng.
Erdös phỏng đoán rằng đối với bất kỳ chuỗi nào như vậy, sự khác biệt sẽ tăng vô hạn khi n tăng (tức là không có chuỗi vô hạn ±1 nào có "sự khác biệt bị chặn").
Bài toán tưởng chừng đơn giản này bao gồm lý thuyết số, tổ hợp và giải tích điều hòa, trở thành một trong những giả thuyết chưa có lời giải nổi tiếng nhất của thế kỷ 20. Mãi đến năm 2015, nhà toán học Terence Tao mới đạt được bước đột phá một phần trong việc giải quyết giả thuyết này bằng cách giới thiệu một công cụ gọi là lý thuyết ergodic.
Ngay cả trong những năm cuối đời, Erdős vẫn tiếp tục nghiên cứu toán học và viết báo cáo. Năm 1996, ông qua đời vì một cơn đau tim khi đang tham dự một hội nghị học thuật ở Warsaw, Ba Lan, hưởng thọ 83 tuổi.
Năm 2024, nhà toán học người Anh Thomas Bloom đã ra mắt một trang web chuyên nghiên cứu về bài toán của Erdős.
Một điều nữa
Paata Ivanisvili, giáo sư toán học tại Đại học California, Irvine, cũng đã tweet rằng GPT-5Pro hoạt động tốt trong việc phát hiện những lỗi nghiêm trọng trong các bài báo đã xuất bản.
Năm năm trước, tôi đã dành nhiều ngày nghiên cứu bài báo này và phát hiện ra một lỗ hổng mà sau đó các tác giả đã xác nhận. GPT-5 Pro đã tìm thấy lỗ hổng tương tự chỉ trong 18 phút, cùng với một số vấn đề nhỏ khác. Tôi đã thấy điều này xảy ra nhiều lần.
Bài tweet này cũng được Chủ tịch OpenAI Greg Brockman chia sẻ lại.
Cư dân mạng cho rằng đây là một kịch bản ứng dụng mạnh mẽ:
Sử dụng GPT-5 Pro để xác minh tài liệu khoa học có thể giúp các nhà nghiên cứu tăng tốc đáng kể quá trình xác minh các khẳng định học thuật và phát hiện ra những mâu thuẫn logic.
Ngoài ra còn có một số lời khuyên của cư dân mạng về Amway:
Lời khuyên hữu ích nhất khi nghiên cứu một bài báo khoa học là hãy đưa vào lời nhắc của bạn “hãy đọc độ sâu- không grep, không quét - 1.000 dòng lần”.
Một gợi ý khác là thực hiện kiểm toán tuần hoàn.
Trang web chính thức của Erdös Problems: https://www.erdosproblems.com/faq
Liên kết tham khảo:
[1]https://x.com/SebastienBubeck/status/1977181716457701775[2]https://x.com/gdb/status/1977153596811804890
Bài viết này trích từ tài khoản công khai WeChat "Quantum Bit" , tác giả: Xifeng và được 36Kr cho phép xuất bản.
