Viết bởi Ciamac Moallemi, Dan Robinson, Paradigm
Biên soạn bởi: Yangz, Techub News
Giới thiệu
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu một nhà tạo lập thị trường tự động (AMM) mới được tùy chỉnh cho các thị trường dự đoán: pm-AMM.
AMM và các tiền thân của chúng như quy tắc chấm điểm thị trường ban đầu được phát minh như một cách cung cấp thanh khoản cho thị trường dự đoán. Hiện tại họ thống trị khối lượng giao dịch của hầu hết các DEX. Tuy nhiên, trớ trêu thay, bất chấp khối lượng giao dịch tăng mạnh trên các thị trường dự đoán, hầu hết trong đó đều sử dụng sổ lệnh chứ không phải AMM.
Trong đó lý do có thể cho điều này là các AMM hiện tại không phù hợp với token kết quả (tức là nếu một sự kiện xảy ra, giá của token là 1 USD và nếu sự kiện không xảy ra thì giá của token là 0 USD). Sự biến động token dẫn đến phụ thuộc vào xác suất hiện tại của sự kiện và thời điểm hết hạn thị trường được dự đoán, có nghĩa là thanh khoản do nhóm tài sản cung cấp không nhất quán. Khi thị trường dự đoán hết hạn, nhà cung cấp thanh khoản(NHÀ CUNG CẤP THANH KHOẢN) về cơ bản sẽ mất toàn bộ giá trị của họ.
Vì mục đích này, chúng tôi đề xuất một AMM mới được tối ưu hóa dựa trên những cân nhắc này, nhằm giải quyết một câu hỏi lâu dài trong nghiên cứu AMM, cụ thể là, việc tối ưu hóa AMM cho một loại tài sản cụ thể có ý nghĩa gì? Nói cách khác, đưa ra một mô hình cho một tài sản nhất định (chẳng hạn như quyền chọn, trái phiếu, stablecoin hoặc token kết quả), nó ảnh hưởng như thế nào đến AMM mà chúng tôi áp dụng? Chúng tôi đề xuất một câu trả lời khả thi cho câu hỏi này dựa trên khái niệm tổn thất và tái cân bằng (LVR).
Kết quả nghiên cứu
Chúng tôi đã xây dựng một mô hình cho sự biến động giá của một số token kết quả mà chúng tôi gọi là động lực học điểm Gaussian. Mô hình này có thể phù hợp với các thị trường dự đoán, có khả năng dự đoán liệu một số xu hướng ngẫu nhiên cơ bản (chẳng hạn như khoảng cách điểm số trong một trận bóng rổ, khoảng cách phiếu bầu trong một cuộc bầu cử hoặc giá của một số tài sản) sẽ cao hơn một giá trị nhất định tại một thời điểm hết hạn cụ thể trong tương lai.
Chúng tôi sử dụng mô hình này để tạo ra AMM dựa trên bất biến mới cho token này, bất biến pm-AMM tĩnh:
Trong đó, x là khoản dự trữ của token kết quả trong AMM, y là khoản dự trữ của token kết quả ngược lại và bổ sung của nó, L là tính thanh khoản tổng thể hoặc Hệ số tỷ lệ, ϕ và Φ biểu thị hàm mật độ xác suất và hàm phân phối tích lũy của phân phối chuẩn tương ứng.
Bất biến ở trên dựa trên một khái niệm mạnh mẽ, đó là tổn thất và tái cân bằng (LVR), mà chúng ta có thể coi là tốc độ AMM lỗ vốn do chênh lệch giá LVR phụ thuộc vào hình dạng của AMM và biến động giá của nó. tài sản cơ bản được giao dịch trên AMM.
Chúng tôi xác định AMM thống nhất cho một tài sản vì nếu được sử dụng cho tài sản đó thì LVR của AMM tỷ lệ thuận với giá trị danh mục đầu tư của nó tại một thời điểm nhất định, bất kể giá hiện tại như thế nào. Milionis và cộng sự cho rằng rằng đối với tài sản có giá tuân theo chuyển động Brown hình học (GBM, một mô hình phổ biến về biến động giá của tài sản thông thường như cổ phiếu và crypto ), nhà tạo lập thị trường trung bình hình học không đổi như Uniswap và Balancer là những AMM thống nhất duy nhất. pm-AMM tĩnh là một AMM thống nhất cho hành vi tài sản tuân theo mô hình động phân đoạn Gaussian được đề xuất của chúng tôi về token kết quả.
Mặc dù pm-AMM tĩnh có LVR thống nhất (dưới dạng một phần giá trị danh mục đầu tư) ở mọi mức giá, LVR vẫn tăng khi ngày hết hạn của thị trường dự đoán đến gần. Điều này là do thị trường dự đoán có thể rất biến động khi gần hết hạn. Để điều chỉnh pm-AMM nhằm giảm thanh khoản của nó sao cho LVR dự kiến của AMM không đổi tại mọi thời điểm trong khoảng thời gian còn lại trước khi hết hạn, chúng tôi rút ra bất biến động pm-AMM, phụ thuộc vào thời gian hết hạn Tt:
Cơ chế pm-AMM động ngăn LVR tăng khi ngày hết hạn đến gần bằng cách cung cấp thanh khoản giảm. Trong một nhóm thực, điều này không hẳn là mong muốn, đặc biệt vì hoạt động giao dịch không chênh lệch giá (và do đó phí) cũng có thể tăng theo thời gian. Tuy nhiên, pm-AMM cung cấp một khuôn khổ để nhà cung cấp thanh khoản điều chỉnh thanh khoản dựa trên mức phí dự kiến và cách họ muốn phân bổ rủi ro chênh lệch giá.
Các AMM này có thể giúp hướng dẫn thanh khoản thụ động trong các thị trường dự đoán Chuỗi . Các khái niệm về AMM thống nhất và phương pháp liên quan cũng có thể được áp dụng rộng rãi hơn cho các nhà thiết kế DEX, những người có thể sử dụng phương pháp này để tùy chỉnh AMM cho các loại tài sản khác có chuyển động giá không tuân theo chuyển động Brownian hình học, chẳng hạn như stablecoin, trái phiếu, quyền chọn hoặc phái sinh khác.
Hình 1 cho thấy các đường cong bất biến của pm-AMM tĩnh và động và so sánh chúng với các đường cong bất biến có tiếng khác, cụ thể là Nhà tạo lập thị trường sản phẩm không đổi (CPMM) và Quy tắc chấm điểm thị trường logarit (LMSR). Lưu ý rằng đường cong dự trữ động của pm-AMM mang lại thanh khoản thấp hơn theo thời gian.
Hình 2 cho thấy “ dấu vân tay thanh khoản ” sẽ xảy ra nếu bất biến pm-AMM tĩnh được triển khai trên AMM thanh khoản tập trung Uniswap v3 so với CPMM và LMSR. Trục hoành tương ứng với thang logarit của giá tương đối (giá của token x chia cho giá của token y) và trục tung tương ứng với thanh khoản của từng AMM ở mức giá đó. Có thể thấy rằng so với hai lựa chọn thay thế này, pm-AMM tập trung nhiều thanh khoản hơn khi giá tương đối là 1 (xác suất là 50%, tức là giá token bằng 0,50), trong khi ở mức giá tương đối cực cao ( Cực kỳ thấp hoặc cực cao), thanh khoản ít tập trung hơn.
Bối cảnh nghiên cứu
thị trường dự đoán
Thị trường dự đoán là một ứng dụng ngày càng phổ biến trong crypto . Chỉ riêng trong tháng 10 năm 2024, khối lượng giao dịch của Polymarket đã vượt quá 2 tỷ USD. Tuy nhiên, hầu hết thanh khoản trong thị trường dự đoán crypto được cung cấp trên sổ lệnh , thay vì AMM, mặc dù AMM vị trí chủ đạo phần lớn khối lượng giao dịch DEX cho crypto .
Một trong đó những lý do có thể là hành vi giá của token thu được khác với hành vi của tài sản thông thường, do đó các AMM được thiết kế cho chúng không thể hoạt động ổn định. Ví dụ: hãy tưởng tượng thị trường dự đoán cho trò chơi tung đồng xu trong đó ai đó tung đồng xu 1001 lần, với mỗi kết quả (ngửa và ngửa) tương ứng với hai token x và y. Cuối cùng, nếu có nhiều mặt ngửa hơn mặt sấp, x Giá trị của token là 1 đô la và nếu có nhiều mặt sấp hơn mặt đầu thì token x có giá trị 0 đô la; điều ngược lại là đúng đối với token y .
Sự biến động của token kết quả này phụ thuộc rất nhiều vào số lần ném còn lại và lần ném hiện tại. Tình hình hiện tại càng gần và số lần tung còn lại càng ít thì token này sẽ càng biến động. Điều này có nghĩa là tổn thất liên tục nhà tạo lập thị trường sản phẩm (phụ thuộc vào sự biến động như được giải thích bên dưới) rất khác nhau theo thời gian.
Hình 3 cho thấy sự biến động giá token dẫn đến là một hàm của giá token và thời gian còn lại theo động lực phân đoạn Gaussian.
Nhiều thị trường dự đoán phổ biến tương tự như ví dụ tung đồng xu này, đặt cược vào việc liệu một xu hướng ngẫu nhiên sẽ kết thúc ở trên hay dưới 0 vào một ngày hết hạn trong tương lai. Ví dụ:
- Trong thị trường dự đoán về kết quả của một trận bóng rổ, thị trường sẽ hết hạn khi thời gian còn lại của trận đấu bằng 0. Động thái ngẫu nhiên là sự khác biệt về điểm số giữa hai đội.
- Thị trường dự đoán về kết quả cuộc bầu cử tổng thống sẽ hết hạn vào Ngày bầu cử. Trong đó , chuyển động ngẫu nhiên là sự chênh lệch về số lượng cử tri có ý định bỏ phiếu cho ứng cử viên.
- Trong thị trường dự đoán về việc liệu giá của tài sản như Bitcoin có cao hơn giá thực hiện nhất định vào một ngày nhất định trong tương lai hay không, xu hướng ngẫu nhiên có thể là logarit của giá Bitcoin hiện tại trừ đi giá thực hiện nhất định.
Mô hình thay đổi giá của token kết quả mà chúng tôi xác định trong bài viết này, cụ thể là mô hình động phân đoạn Gaussian, được lấy cảm hứng từ các ví dụ như vậy. Mô hình giả định rằng giá thị trường được dự đoán phù hợp với xác suất mà một số chuyển động Brown cơ bản sẽ kết thúc trên mức 0. Mô hình này tương tự như mô hình Black-Scholes cho quyền chọn nhị phân (quyền chọn nhị phân là một công cụ thanh toán một số tiền cố định nếu giá của tài sản cao hơn giá thực hiện nhất định và trả một số tiền cố định nếu giá của tài sản cao hơn giá thực hiện). tài sản thấp hơn một mức giá thực hiện nhất định) thì phải trả 0 USD). Tuy nhiên, trong mô hình của chúng tôi, quy trình cơ bản không bắt buộc phải tương ứng với giá của tài sản có thể giao dịch.
Chúng tôi đưa ra một giả định đơn giản hóa rằng giá của token kết quả phù hợp với xác suất là 1 đô la. Giả định này bỏ qua các đặc điểm quan trọng của thị trường, bao gồm rủi ro và ưu tiên về thời gian, vì vậy việc kiểm tra xem các đặc điểm này ảnh hưởng đến mô hình này như thế nào sẽ là chủ đề nghiên cứu trong tương lai.
Ngoài ra, chúng ta cũng nên thấy rằng không phải tất cả các thị trường dự đoán đều phù hợp với mô hình động phân đoạn Gaussian, bởi vì mô hình này giả định rằng tốc độ xuất hiện thông tin mới là có thể dự đoán được. Ví dụ: một trò chơi bóng rổ có thể phù hợp hơn với mô hình này so với một trò chơi bóng đá vì các trận bóng rổ có tỷ số ghi bàn thường xuyên hơn nhiều và do đó sự chênh lệch về điểm số tăng lên một cách nhất quán hơn theo thời gian. Ngoài ra, một số loại thị trường dự đoán hoàn toàn khác với mô hình này, chẳng hạn như dự đoán liệu một sự kiện bất ngờ xảy ra một lần (chẳng hạn như động đất) có xảy ra vào một ngày nhất định hay không. Nhưng một lần nữa, mô hình này có thể là điểm khởi đầu hữu ích để tạo ra các mô hình cho các động lực khác và có thể đóng vai trò là minh chứng cho phương pháp tạo ra AMM thống nhất cho bất kỳ mô hình nào.
Mất mát so với tái cân bằng và tính đồng nhất
Sau khi làm rõ mô hình này, chúng tôi đã tìm ra một cơ chế có thể phù hợp hơn với token này so với các AMM hiện có, chẳng hạn như nhà tạo lập thị trường sản phẩm cố định hoặc LMSR. Chỉ báo hướng dẫn mà chúng tôi sử dụng là tỷ lệ tổn thất dự kiến của nhà cung cấp thanh khoản, có thể được mô tả là tỷ lệ thua lỗ so với tái cân bằng hoặc LVR.
LVR nắm bắt được chi phí lựa chọn bất lợi chính của AMM: khi không có giao dịch, giá AMM không đổi và trở nên cũ khi có thông tin mới. LVR phản ánh chi phí mà nhà cung cấp thanh khoản AMM phải gánh chịu vì những mức giá lỗi thời này được khai thác bởi các nhà kinh doanh chênh lệch giá có hiểu biết tốt hơn, những người thực hiện giao dịch chênh lệch giá ở mức giá bất lợi cho AMM. Do đó, LVR có thể được coi là khoản phí mà AMM trả cho các nhà kinh doanh chênh lệch giá để điều chỉnh giá của nó.
Ngoài ra, nếu không tính phí giao dịch, LVR cũng là khoản lỗ do nhà cung cấp thanh khoản đồng bằng bảo hiểm rủi ro cho vị thế nhà cung cấp thanh khoản bằng cách nắm giữ một vị thế đầu cơ giá xuống cho chính xác cùng số lượng token như một phần của quỹ dự trữ chung. Do đó, LVR xây dựng dựa trên nhận xét chính của mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes. Giống như quyền chọn loại bỏ rủi ro thị trường bằng cách phòng ngừa rủi ro delta với tài sản cơ bản, LVR đánh giá vị thế NHÀ CUNG CẤP THANH KHOẢN trong AMM sau khi loại bỏ rủi ro thị trường. Nghĩa là, LVR tách biệt tính đặc thù của việc trở thành nhà cung cấp thanh khoản trong AMM, thay vì chỉ đơn giản chấp nhận rủi ro thị trường khi nắm giữ token giống như dự trữ của AMM.
Chúng tôi xem xét một AMM dựa trên bất biến đơn giản mà không mất phí hoặc cơ chế tái chế MEV. Trong trường hợp này, AMM chắc chắn sẽ lỗ vốn do chênh lệch giá và không có bất biến AMM nào có thể loại bỏ LVR (ngoại trừ bất biến dẫn đến không có giao dịch nào cả). Hơn nữa, ngay cả việc “giảm thiểu” LVR cũng không có ý nghĩa thực tế, bởi vì giảm LVR chỉ đồng nghĩa với việc giảm thanh khoản được cung cấp.
Tuy nhiên, mặc dù chúng tôi không thể loại bỏ LVR, nhưng chúng tôi có thể làm cho LVR đồng đều hơn để tỷ lệ phần trăm giá trị tài sản bị mất không phụ thuộc vào giá hiện tại của tài sản. Chúng tôi gọi tính chất này là tính đồng nhất.
Hãy tưởng tượng một nhà tài trợ sẵn sàng cung cấp thanh khoản trên một số thị trường dự đoán không tính phí để tìm hiểu kết quả mà thị trường dự đoán. Nhà tài trợ sẽ mất tiền, nhưng họ cũng muốn chia đều các khoản lỗ hơn là tập trung các khoản lỗ vào một thời điểm cụ thể hoặc ở một mức giá cụ thể. Trong trường hợp này, giá trị danh mục đầu tư hiện tại của nhóm tài sản có thể được coi là “ngân sách” của nhà tài trợ. Trên một AMM hợp nhất, nếu một nhà tài trợ đầu tư 1 USD thanh khoản vào một thời điểm nhất định, khoản lỗ dự kiến của họ tại thời điểm tiếp theo không liên quan gì đến trạng thái hiện tại của nhóm.
Ngoài ra, tính đồng nhất còn có ý nghĩa tiềm ẩn đối với nhà cung cấp thanh khoản tìm kiếm lợi nhuận. Ngay cả khi AMM có thể thu được một số lợi nhuận từ thua lỗ và tái cân bằng hoặc thậm chí kiếm được lợi nhuận (thông qua phí hoán đổi khác 0 hoặc thông qua các cơ chế đấu giá như thuế MEV ), nó vẫn sẽ cần một số chiến lược để xác định cách phân bổ thanh khoản. Chúng ta có thể coi khoản lỗ dự kiến của nhóm không tính phí là thước đo mức thanh khoản mà phương pháp phân bổ tại một thời điểm nhất định, phương pháp có tính đến quá trình định giá của tài sản.
Chúng tôi xác định AMM hợp nhất dành riêng cho tài sản là AMM có LVR dự kiến là một phần không đổi của giá trị hiện tại của nhóm tài sản , bất kể giá hiện tại của tài sản như thế nào. Lưu ý rằng việc AMM có LVR thống nhất hay không phụ thuộc vào quá trình định giá của tài sản đó. Như được hiển thị trong Phụ lục B.2 của Milionis và cộng sự, nếu giá của tài sản tuân theo chuyển động Brown hình học thì AMM thống nhất về cơ bản duy nhất giữa tài sản và vị thế là nhà tạo lập thị trường trung bình hình học có trọng số, có bất biến là:
Đây là công thức được sử dụng trong Balancer, trong trong đó nhà tạo lập thị trường sản phẩm không đổi được sử dụng trong Uniswap v2 cũng là một trường hợp đặc biệt. Nhưng đối với token tuân theo động lực học phân số Gaussian, AMM trung bình hình học không đổi không có LVR thống nhất. Điều tương tự cũng xảy ra với Quy tắc tính điểm thị trường nhật ký (LMSR).
Hình 4 hiển thị LVR của CPMM và LMSR cho token kết quả động phân đoạn Gaussian tại thời điểm Tt = 1 so với LVR thống nhất của pm-AMM tĩnh.
Ngoài những cân nhắc này, chúng tôi đã phát triển hai AMM được thiết kế cho thị trường dự đoán theo động lực phân số Gaussian: một AMM có LVR thống nhất tại bất kỳ thời điểm nào, nhưng khi ngày hết hạn của thị trường dự đoán đến gần, LVR kia sẽ tăng lên; và LVR dự kiến không đổi trong khung thời gian còn lại.
Như có thể thấy trong Hình 4, khi giá token thu được ở trường hợp cực đoan gần bằng 0 hoặc 1, CPMM và LMSR sẽ có LVR lớn hơn. Điều này là do, mặc dù mức độ biến động giá thấp hơn quanh những điểm này (xem Hình 3), nhưng giá trị của nhóm tài sản lại giảm nhanh hơn ở mức giá cực cao. Do đó, một AMM hợp nhất sẽ cung cấp ít thanh khoản hơn ở mức giá cực cao, đó chính xác là những gì thiết kế của pm-AMM thực hiện (xem Hình 2).
Nghiên cứu trước đây
AMM có nguồn gốc từ thị trường dự đoán và quy tắc tính điểm thị trường (chẳng hạn như LMSR). Các quy tắc này thúc đẩy việc phát hiện ra nhà tạo lập thị trường có chức năng không đổi (CFMM) chẳng hạn như Uniswap v2 , thường được đặc trưng bởi mối quan hệ bất biến giữa dự trữ của AMM cho mỗi tài sản. AMM dựa trên thiết kế này đã trở thành cơ chế thị trường chủ đạo của DEX trong những năm gần đây.
Gần đây, quan điểm kinh tế tài chính đã được áp dụng để hiểu chi phí của nhà tạo lập thị trường tự động dưới dạng thua lỗ và tái cân bằng (LVR), tập trung chủ yếu vào chuyển động Brown hình học. Mặt khác, động lực giá của các thị trường dự đoán rất khác nhau vì chúng có lợi nhuận và thời gian giới hạn. Taleb đã đề xuất một động lực dựa trên quy trình bỏ phiếu cơ bản có thể quan sát được, trong khi chúng tôi phát triển một động lực khác dựa trên quy trình phân số Gaussian có thể quan sát cơ bản.
Đã có một số nghiên cứu ứng dụng trước đây về thiết kế nhà tạo lập thị trường tự động cho tài sản không phải GBM. Trong đó ví dụ là StableSwap , một AMM được thiết kế cho stablecoin dựa trên tiền đề trực quan rằng nhà tạo lập thị trường tự động giữa tài sản trị trung bình tài sản tập trung chặt chẽ thanh khoản ở một mức giá, nhưng nguồn gốc của nó không liên quan đến việc lập mô hình quy trình định giá tài sản. Một ví dụ khác là YieldSpace , một AMM được thiết kế cho trái phiếu không trả lãi. Mặc dù việc tạo ra YieldSpace bao gồm một mô hình định giá trái phiếu không trả lãi coupon đơn giản nhưng nó không bao gồm một mô hình quy trình định giá hoàn chỉnh (sự phát triển của lãi suất không được lập mô hình).
Ngoài ra, có một số công việc trong giới học thuật nhằm thiết kế các mô hình thị trường thời gian thực xung quanh niềm tin về hành vi giá tài sản. Trong đó ví dụ là thiết kế của Goyal et al . Khuôn khổ của họ được thiết kế nhằm tối đa hóa thanh khoản tích cực dự kiến, thay vì điều chỉnh các khoản lỗ dự kiến và do đó đôi khi dẫn đến kết quả trái ngược với kết quả của chúng tôi. Ví dụ: đạo hàm của chúng cho rằng rằng nếu nhà cung cấp thanh khoản kỳ vọng giá tương đối của tài sản duy trì ở mức 1 thì LMSR (tập trung thanh khoản quanh mức giá 1 so với CPMM) là rất phù hợp trong khi khuôn khổ của chúng tôi cho rằng rằng , nếu dự kiến sẽ có sự phân kỳ giá; (như trong trường hợp token kết quả), thì việc tập trung thanh khoản xung quanh 1 là hợp lý.
Các mô hình AMM khác nhau
nhà tạo lập thị trường tự động
Chúng ta có thể xem xét thị trường dự đoán cho một sự kiện và AMM giao dịch hai tài sản cạnh tranh. Một trong đó rủi ro tài sản rủi ro tài sản thể hiện bằng AMM duy trì bất biến f(x,y)=L, trong đó f(⋅,⋅) là hàm bất biến của dự trữ (x,y) và L là hằng số. Cho giá P của tài sản x (bằng đô la Mỹ), thì hàm giá trị của nhóm tài sản là:
Đây là giá trị của nhóm tài sản khi giá của x là P. Vì việc nắm giữ một đơn vị tài sản x và y tương ứng với việc nắm giữ tiền mặt nên chúng ta phải đặt giá của y là 1-P. Giả sử có một nhóm nhà kinh doanh chênh lệch giá có thể quan sát giá Pt của tài sản x (và giá 1-Pt của tài sản y) tại mỗi thời điểm t. Giả sử không có phí giao dịch hoặc xung đột khác, những nhà kinh doanh chênh lệch giá này sẽ liên tục theo dõi AMM và cố gắng thu được giá trị từ bất kỳ hành vi định giá sai nào của AMM. Để theo đuổi mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận của mình, họ sẽ giao dịch với AMM để giảm thiểu giá trị dự trữ AMM. Nếu chúng ta sử dụng Vt để biểu thị giá trị dự trữ tại thời điểm t (khi giá là Pt), thì Vt = V(Pt).
Ví dụ 1: Trong trường hợp nhà tạo lập thị trường sản phẩm không đổi (CPMM), bất biến là f ( x , y ) ≜ xy và hàm giá trị nhóm tài sản là:
Ví dụ 2: Quy tắc xếp hạng thị trường logarit (LMSR) do Robin Hanson tạo ra có thểđược xem như một AMM thỏa mãn bất biến sau.
Hàm giá trị nhóm tài sản của nó là (tỷ lệ thuận với entropy nhị phân của sự kiện được ngụ ý bởi giá):
Biểu thị giải pháp tối ưu cho bài toán tối ưu hóa (1) bằng 1, nhưng đối với hoàn cảnh hiện tại :
Định lý 1. Với mọi mức giá P ≥0, hàm giá trị của nhóm tài sản thỏa mãn:
Động lực phân số Gaussian
Làm thế nào để giá tài sản rủi ro thay đổi theo thời gian dựa trên cái mà chúng ta gọi là động lực học phân số Gaussian? Cụ thể, chúng ta giả sử rằng tồn tại một quá trình ngẫu nhiên {Zt} trong khoảng thời gian t∈[0,T], trong đó các sự kiện được xác định bởi dấu của Zt ở cuối khoảng thời gian t=T: Nếu ZT ≥0 , thì x Hoàn trả tài sản, nếu ZT<0 thì y tài sản được hoàn trả. Chúng ta có thể hiểu Zt là điểm chênh lệch giữa hai đội trong một cuộc thi đấu song phương. Vì vậy, chúng ta sẽ coi Zt là một quá trình tính điểm. Lưu ý rằng mặc dù mô hình của chúng tôi giả định sự tồn tại của quy trình phân đoạn này, AMM không yêu cầu quan sát trực tiếp các quy trình này. Như được giải thích bên dưới, AMM có thể suy đoán giá trị hiện tại của phân số dựa trên giá cận biên (sau khi kinh doanh chênh lệch giá) và thời gian hết hạn.
Chúng ta giả định rằng Zt tuân theo sự biến đổi ngẫu nhiên. Cụ thể, chúng ta giả sử Zt là chuyển động Brown có độ biến thiên σ>0, nghĩa là dZt=σdBt, trong đó Bt là chuyển động Brown tiêu chuẩn. Khi đó, không khó để thấy rằng giá Pt của tài sản x tại thời điểm t là:
Trong đó, Φ(⋅) là hàm phân phối tích lũy chuẩn chuẩn hóa (CDF). Áp dụng định lý Itô, Pt phải thỏa mãn:
Trong đó, ϕ(⋅) là hàm mật độ xác suất chuẩn thông thường và Φ-1(⋅) là CDF nghịch đảo. Lưu ý rằng trong khi động lực của phân số và sự chuyển đổi từ phân số sang giá hoặc ngược lại phụ thuộc vào σ, thì động lực của quá trình giá riêng biệt Pt không phụ thuộc vào σ. Những biến động động này là hàm của giá và thời gian còn lại được thể hiện trong Hình 3.
AMM hợp nhất
Theo thảo luận ở trên, nếu chúng ta sử dụng Vt để biểu thị giá trị dự trữ của nhóm tài sản tại thời điểm t (giá tại thời điểm này là Pt), thì Vt=V(Pt). Áp dụng định lý Itô, chúng ta có thể kết luận rằng giá trị nhóm tài sản thay đổi theo công thức sau:
Vì giá Pt là một martingale nên số hạng thứ hai của (2) cũng là một martingale, có thể tăng hoặc giảm. Tuy nhiên, theo V(⋅) (xem Định lý 1), số hạng thứ nhất tương ứng với một phép biến đổi âm và do đó là một quá trình giảm. Đây là quá trình mất mát và tái cân bằng do Milionis và cộng sự đề xuất, nhằm nắm bắt giá trị bị mất bởi các nhà kinh doanh chênh lệch giá, những người phòng ngừa rủi ro đối với các nhóm tài sản ở mức giá bất lợi. Chúng tôi xác định tốc độ tức thời của tổn thất này là:
Milionis và cộng sự nhận thấy rằng đối với tài sản tuân theo chuyển động Brown hình học, về cơ bản chỉ có nhà tạo lập thị trường trung bình hình học là AMM thống nhất. Trong thị trường dự đoán theo động lực học phân số Gaussian, để kiểm tra (3), nhóm LVR thống nhất phải giải phương trình vi phân thông thường (ODE) sau:
Điều này là không thể vì vế trái của phương trình phụ thuộc vào t, còn vế phải thì không. Vấn đề cốt lõi ở đây là động lực học của chuyển động Brown hình học là bất biến theo thời gian, trong khi động lực học của chuyển động phân đoạn Gauss phụ thuộc nhiều vào thời gian.
Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cho phép α liên quan đến thời gian, nghĩa là, chúng ta có thể đặt α=β/(Tt), trong đó β>0, sau đó xem xét cách thiết lập như vậy, cụ thể là:
Điều này tương đương với ODE cho P ≥0. Ngoài ra, V(⋅) còn có một số yêu cầu bổ sung, chẳng hạn như V′′(P)<0 (xem Định lý 1).
Chiều tĩnh-AMM
ODE ở trên có thể được đơn giản hóa bằng cách thay đổi biến u=Φ-1(P). Khi β=1/2, tồn tại một nghiệm thỏa mãn cả ODE và độ lõm bổ sung, và giá trị của nó là:
Dự trữ của token x và y là:
Ở đây, L ≥0 là tham số thanh khoản xác định quy mô của quy mô nhóm vốn. Quan sát y∗(P)-x∗(P)=LΦ-1(P) và thay nó vào (5), khi đó dự trữ quỹ (x, y) phải thỏa mãn bất biến:
Đây là định nghĩa của pm-AMM tĩnh. Theo thiết kế, AMM thỏa mãn mối quan hệ sau:
Xác định Vˉt=E[Vt] là giá trị nhóm dự kiến, từ (2) có thể suy ra:
Giải phương trình vi phân thông thường này sẽ mang lại câu trả lời sau. Nói cách khác, trong các điều kiện dự kiến, giá trị nhóm tài sản của pm-AMM tĩnh sẽ giảm dần theo căn bậc hai của khoảng thời gian còn lại.
Chiều động-AMM
Một nhược điểm của pm-AMM tĩnh là mặc dù giá trị LVR trên mỗi đô la của nó là thống nhất ở tất cả các mức giá có thể, nhưng nó sẽ thay đổi theo thời gian. Đặc biệt, mức lỗ trên mỗi 1 USD giá trị tỷ lệ nghịch với thời gian hết hạn, do đó nó sẽ tăng theo thời gian cho đến khi toàn bộ giá trị bị mất khi hết hạn.
Thanh khoản năng động. Chúng tôi hình dung một biến thể thời gian động của thiết kế pm-AMM tĩnh, trong đó AMM LP rút thanh khoản theo thời gian để giảm tổn thất. Cụ thể, giả sử giá trị vốn gộp là:
trong đó Lt là hàm trơn xác định mức độ thanh khoản bị loại bỏ (hoặc có khả năng được thêm vào) theo thời gian. Áp dụng định lý Itô cho quá trình giá trị nhóm tài sản Vt≜V(Pt,t), khi đó
Gọi Ct là giá trị tiền tệ tích lũy của thanh khoản rút . Vì giá trị nhóm có quan hệ tuyến tính với thanh khoản Lt, nên giá trị đồng đô la của một thay đổi trong Lt tỷ lệ thuận với Vt/LT. Chúng ta có thể nhận được:
Tổng tài sản Wt của AMM LP bao gồm giá trị dự trữ của nhóm quỹ và giá trị tích lũy của thanh khoản rút , do đó Wt=Vt+Ct và thỏa mãn:
Điều này có nghĩa là mức độ giàu có kỳ vọng của NHÀ CUNG CẤP THANH KHOẢN Wˉt≜E[Wt] thỏa mãn các điều kiện sau, trong đó Vˉt≜E[VT].
Bây giờ, hãy xem xét các lựa chọn cụ thể cho đường cong thanh khoản như sau:
Chúng tôi gọi nó là pm-AMM động. Theo (7), giá trị nhóm tài sản dự kiến Vˉt=E[Vt] thỏa mãn:
Giải phương trình vi phân thông thường này sẽ mang lại câu trả lời sau.
Nói cách khác, trong pm-AMM động, giá trị nhóm dự kiến giảm tuyến tính sau khi rút tiền. Ngoài ra, do kế thừa hàm giá trị của pm-AMM tĩnh nên tỉ lệ tổn thất LVR trên một đơn vị thời gian là:
Tỷ lệ tổn thất dự kiến là giá trị sau, không đổi trong khoảng thời gian t. Nghĩa là, một pm-AMM động sẽ mất tiền của nhà kinh doanh chênh lệch giá với tỷ lệ không đổi (kỳ vọng) theo thời gian.
Cuối cùng, theo (8), quá trình làm giàu kỳ vọng thu được như thể hiện trong hình bên dưới. Vì vậy, cuối cùng một nửa số tài sản ban đầu bị mất.
Tóm lại
pm-AMM có thể phù hợp với các thị trường dự đoán được thúc đẩy bởi các động lực như mô hình động lực phân đoạn Gaussian. Ngoài ra, nghiên cứu của chúng tôi cũng chỉ ra rằng AMM hợp nhất có thể phù hợp với các loại tài sản khác, chẳng hạn như trái phiếu, quyền chọn và phái sinh khác.
